絶対値付き２次不等式の解法

質問

高校数学の質問です。

|x^2-2x-8| > 2x+4
（x^2とは、xの平方を表します。）

上記の不等式の解は、「 x<-2, -2<x<2, 6<x 」ですが、腑に落ちません。
これらの解を、x軸上に書き出してみると、「交わり」の部分が無いからです。
絶対値を外して場合分けするまでは理解できるのですが・・・

連立不等式においては、各々の不等式の解を共に満たす範囲（交わり部分）が最終的な解になるのでは？

数学マスターであられる諸兄にお尋ねします・・・

回答No.4

eibu · ベストアンサー

絶対値の中身が正のときと負のときで場合分けしたとき、それぞれの場合のどれかが成り立てば与えられた不等式は成立するので、答えは場合分けで求めた範囲の和集合になります。
場合分けは互いに共通部分（交わり）が無いように通常するので、仮にそれぞれの場合で求めた結果の交わりを回答としたなら、それは常に空集合になってしまいます。これは明らかに変ですよね？

お礼

お礼が遅くなり、大変申し訳ありません。

とても分かりやい解答、ありがとうございました。
目からウロコで、理解の助けとなりました。

回答No.3

R_Earl

> 連立不等式においては、各々の不等式の解を共に満たす範囲（交わり部分）が最終的な解になるのでは？

連立不等式の問題では無いですよ。
不等式は|x^2-2x-8| > 2x+4の1個だけですよね。
場合分けをすると2つの不等式が出てくるので、
それが連立不等式のように見えたのかもしれませんね。

「場合分けとは何か」とか、「連立方程式や連立不等式の解とは何か」
という事について考えてみると良いかもしれません。

お礼

お礼が遅くなり、大変申し訳ありません。

最近になって、朧げながら感覚をつかめるようになってまいりました。

丁寧な解答、ありがとうございました。

回答No.2

Willyt

絶対値の中が正の場合と負の場合に分けて考える必要があります。

x^2-2x-8=(x-4)(x+2) ですから　絶対値の中が正なのは　Ｘ≧４まはたｘ≦-2 のときで、不等式はx^2-2x-8>2x+4

負なのは　4>x>-2 のときでこのときで不等式は　x^2-2x-8<-2xー4 になります。

これ等を解けばいいのです。

お礼

お礼が遅くなり、大変申し訳ありません。

丁寧な解答、ありがとうございました。

回答No.1

happy2bhardcore

与式=|(x-4)(x+2)|>2x+4

絶対値の中身が正のとき
(x≦-2、4≦xのとき)・・・・条件1
x^2 -4x -12 > 0
(x-6)(x+2)>0
x<-2、6<x
条件1を考慮して
x<-2、6<x・・・・・・・・条件２

絶対値の中身が負のとき
（-2＜x＜4のとき）・・・・条件３
x^2-4<0
(x±2)^2<0
2<x<2
条件３を考慮して
-2<x<2・・・・・・・・・・条件４

条件２，条件４より
-2<x、-2<x<2、6<x

以上

お礼

お礼が遅くなって、大変申し訳ありません。

丁寧な解答、ありがとうございました。