絶対値のついた定積分

質問

f(x)=∫(0→x)|x－at|sintdtとする。
x＞0のときf(x)を求めよ。

という問題なんですが、まず絶対値を外さない限り積分はおこなえないので、0≦t≦x/aにおいて絶対値をそのまま外し、x/a≦tにおいては絶対値にマイナスをつけて外します。ここまではただ絶対値を外すだけなので問題ないのですが、分からないのが次からです。解答において

0＜x≦x/aのとき
f(x)=∫(0→x)(x－at)sintdt

0＜x/a＜xのとき
f(x)=∫(0→x/a)(x－at)sintdt∫(x/a→x)(at－x)sintdt

と場合分けしています。この分けた範囲や理由がまったく分かりません。考え方やグラフの活用でも構いません、この問題に限らず絶対値のついてる積分を解く際にどの部分が場合分けの範囲やポイントとなるのかアドバイスお願いいたします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

もっと簡単な例で考えます。

∫(0→a)|t-1|dt

を計算する場合、aと1の大小で場合わけする、というのは分かりますか？

もし分かるのなら、それとまったく同じ事です。

0＜x≦x/aのときは、積分区間(0≦t≦x)で常に0≦t≦x/aなので、絶対値はそのままはずすことができます。

0＜x/a＜xのときは、積分区間で絶対値の中身の正負が変化するので、
∫(0→x/a)(x－at)sintdt＋∫(x/a→x)(at－x)sintdt
のように、絶対値の中身が正の区間、負の区間と２つに分けて積分しなければなりません。

＞この問題に限らず絶対値のついてる積分を解く際にどの部分が場合分けの範囲やポイントとなるのかアドバイスお願いいたします。

積分に限らず、絶対値があるときは、絶対値の中身の正負で場合分け、ってのはよく見かけますね。

ところで、a>0という条件はあるんですか?
ないのなら、少しおかしいような・・・？

お礼

よく考えてみたら確かにその通りです。あえて絶対値をはずしてからなどと考えなくても出来ますよね！
ちなみにa>0の条件を書き忘れていました...失礼しました！
ありがとうございます！

回答No.2

postro

rockman9さんに少し誤解があるように感じます。
絶対値の中（x－at）の正負を考えます。
ｔは　0≦t≦x　（積分区間）を考えます。
ａ≦１　のときｔが0≦t≦xの範囲なら、必ず　０≦（x－at）　はＯＫですね？
このときは絶対値記号はそのままはずすことができます。
次に　１＜ａ　のときは　0≦t≦x/a の範囲のとき　０≦（x－at）　・・・・絶対値記号はそのままはずす。
x/a＜t≦x の範囲のとき　０＞（x－at）　・・・・絶対値記号はマイナスをつけてはずす。
ということで、「ａを場合分けして」積分範囲を考えるのだと思います。

お礼

納得しました！ありがとうございます！