絶対値の場合分けについての質問になります。

質問

現在、受験前の復習として数Iの問題を解いているのですが、
絶対値の場合分けについて分からない箇所が出てしまいましたので、質問させていただきます。

2｜x + 1｜+｜x - 3｜= 6

上記の式の場合分けに関しまして、

(1)　3 ≦ x

(2) x ＜ - 1

(3) - 1 ≦ x ＜ 3

この3つに場合分けをし解くことが出来る。と解説にはあるのですが、
(2)と(3)の式の＜・≦の二つの記号につきまして、何故それを用いるのかが理解ができません。

別の似たような問題には、- 3 ＜ x ＜ 2 と 2 ≦ x の二つで場合分けがされているのですが、

上の式の場合、 【 - 1 ＜ x ＜ 3 と x ≦ - 1 ではいけない理由】を教えて欲しいのです。

どなたか、よろしくお願いします。

回答No.3

suko22 · ベストアンサー

2｜x + 1｜+｜x - 3｜= 6

個別に絶対値をはずします。
｜ｘ+1｜
(1)　ｘ+1≧0のとき、すなわちｘ≧-1のとき｜ｘ+1｜＝ｘ+1
(2)　ｘ+1＜0のとき、すなわちｘ＜-1のとき｜ｘ+1｜＝-（ｘ+1）＝-ｘ-1

｜ｘ-3｜
(1)　ｘ-3≧0のとき、すなわちｘ≧3のとき｜ｘ-3｜＝ｘ-3
(2)　ｘ-3＜0のとき、すなわちｘ＜3のとき｜ｘ-3｜＝-（ｘ-3）＝-ｘ+3

絶対値の外れ方に注目すると、
iｘ＜-1のとき、与式は
2（-ｘ-1）-ｘ+3＝6

ii-1≦ｘ＜3のとき、与式は
2（ｘ+1）-ｘ+3＝6

iiiｘ≧3のとき、与式は
2（ｘ+1）+ｘ-3＝6

と３パターンに分けられることがわかります。

数直線上で絶対値の外れ方のパターンを整理すれば、上記の場合わけになることが視覚的にわかると思います。（添付図参照）

＞この3つに場合分けをし解くことが出来る。と解説にはあるのですが、
解説を読むより、自分で絶対値をはずして、上のように考えれば自然と３つとわかります。最初からわかっているわけではありません。（普通は）

＞上の式の場合、 【 - 1 ＜ x ＜ 3 と x ≦ - 1 ではいけない理由】を教えて欲しいのです。
＞(2)と(3)の式の＜・≦の二つの記号につきまして、何故それを用いるのかが理解ができません。
-1と3の境界はどちらに＜・≦をつけてもかまいません。
最初の絶対値を個別にはずしたときに、
｜ｘ+1｜
ｘ+1＞0、すなわちｘ＞-1のときｘ+1
ｘ+1≦0、すなわちｘ≦-1のとき-（ｘ+1）

｜ｘ-3｜
ｘ-3＞0、すなわちｘ＞3のときｘ-3
ｘ-3≦0、すなわちｘ≦3のとき-（ｘ-3）

とすれば、
場合わけは、
ｘ≦-1、-1＜ｘ≦3、ｘ＞3となります。結果は同じです。

絶対値をはずすとき等号をどちらにつけるかでｘ≦-1、-1＜ｘ＜3、3≦ｘという場合わけも考えられます。
ただ一般的には絶対値の外し方として、
｜a｜＝a（a≧0のとき）
　　＝-a（a＜0のとき）
と0はa≧0のほうに含めますので、模範解答の例が一般的です。
また、こういう風に決めておくほうがややこしくならずにすみます。

お礼

大変分かりやすい解説をありがとうございました。
境界ではどちらに＜・≦をつけてもいいとは、知りませんでした。

もしやと、注意して参考書を読んでみたら、ちっさくまとめて書いてありました。
もうちょっと大きく書いてくれたらいいのに。くそー。

本当にありがとうございました！

回答No.2

yyssaa

絶対値の定義は
A≧0のとき|A|=A
A＜0のとき|A|=-A
です。これだけをしっかり覚えておけば、全て解決します。
2｜x + 1｜+｜x - 3｜= 6については、定義から、
|x+1|の絶対値記号を外すために
x+1≧0・・・(ア)
と
x+1＜0・・・(イ)
に場合分けします。
|x-3|の絶対値記号を外すために
x-3≧0・・・(ウ)
と
x-3＜0・・・(エ)
に場合分けします。
(ア)からx≧-1・・・(ア)'
(イ)からx＜-1・・・(イ)'
(ウ)からx≧3・・・・(ウ)'
(エ)からx＜3・・・・(エ)'
以上を数字の大きい方から整理すると
x≧3・・・・(ウ)'
3＞x≧-1・・・(エ)'と(ア)'
x＜-1・・・(イ)'
になります。
他の問題も、上の原則を忠実に実行すれば、解決するので、
やってみたらいいでしょう。

お礼

解き方について大変詳しく教えていただきまして、ありがとうございます。
非常に分かりやすく、この方法であれば問題を解くことには問題ないかと思います。

混乱したときなど、このやり方で解かせていただきます。ありがとうございました！

回答No.1

aries_1

絶対値の中身が0以上になると、絶対値をはずすときにマイナスをつける必要がなくなります。

本問の場合、
(1)|x+1|と|x-3|の中身が両方負になるとき
(2)|x+1|の中身のみ正になり、|x-3|の中身は負になるとき
(3)|x+1|と|x-3|の中身が両方正になるとき
の3つに場合分けします。

範囲を図にかけば分かりやすいのですが、(1)となるのはx＜-1の時です。仮にx≦-1としてしまうと、xに-1が含まれるために|x+1|が0になり得るので、(2)の範囲にかぶることになってしまいます。
同様の理由で、(2)の範囲は-1≦x＜3となります。
xに3を含めると(3)の範囲とかぶることになります。

お礼

素早い回答をありがとうございました。