絶対値つき方程式 ｜2｜2x-1｜-1｜=x-1/3 をとけ。

質問

絶対値つき方程式　｜2｜2x-1｜-1｜=x-1/3　をとけ。

この問題をグラフで考えて解いたのですが、解答は2｜2x-1｜-1=±(x-1/3)として
(1)2｜2x-1｜-1=x-1/3を解いて、x=8/9,4/15
(2)2｜2x-1｜-1=-x+1/3を解いて、x=2/3,2/9
よって、解はx=8/9,2/3と結論づけているのですが、どうしてそういえるのでしょうか。
また、解答は(1)を解く際に、｜2x-1｜=a とおいて、x=(1+a)/2,(1-a)/2だから、
(1)の解はx=8/9,4/15　と結論づけています。面倒な解答だと思い、(1)を解く時の方法として、他にどのような方法をとれるのか。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

単純に４つに場合分けしたほうが簡単では？

(1) 2x-1≧0、2(2x-1)-1≧0　のとき、2(2x-1)-1=x-1/3
(2) 2x-1≧0、2(2x-1)-1＜0　のとき、-(2(2x-1)-1)=x-1/3
(3) 2x-1＜0、-2(2x-1)-1≧0　のとき、-2(2x-1)-1=x-1/3
(4) 2x-1＜0、-2(2x-1)-1＜0　のとき、-(-2(2x-1)-1)=x-1/3

これを整理すれば、

(1) x≧1/2、x≧3/4　のとき、x=8/9
(2) x≧1/2、x＜3/4　のとき、x=2/3
(3) x＜1/2、x≦1/4　のとき、x=4/15
(4) x＜1/2、x＞1/4　のとき、x=2/9

この中で条件に合うのは、x=8/9とx=2/3だけです。

お礼

回答ありがとうございます。
４つの場合分け、これは簡単でわかりやすい。

回答No.6

info22_

左辺と右辺のグラフを描くと黒線が左辺、青線が右辺のグラフで2点で交わります。
この2点の交点のx座標が解になります。
したがって元の方程式の答えはx=2/3とx=8/9と得られます。

>(1)2｜2x-1｜-1=x-1/3を解いて、x=8/9,4/15
>(2)2｜2x-1｜-1=-x+1/3を解いて、x=2/3,2/9
>よって、解はx=8/9,2/3と結論づけているのですが、どうしてそういえるのでしょうか。

｜2｜2x-1｜-1｜=x-1/3≧0(∵絶対値は正またはゼロ)
∴x≧1/3
この条件を満たすxは x=8/9とx=2/3の２つで
グラフの交点のx座標と一致していることが確認できます。

>解答は(1)を解く際に、｜2x-1｜=a とおいて、x=(1+a)/2,(1-a)/2だから、
>面倒な解答だと思い、
その通りですね。

>(1)を解く時の方法として、他にどのような方法をとれるのか。
グラフと併用すれば
右側の交点なので
y=2(2x-1)-1とy=x-(1/3)を解けば求まります。
交点のx座標が答えになりますね。

なお(2)は
y=1-2(2x-1)とy=x-(1/3)を解けば求まります。
交点のx座標が答えになりますね。

お礼

回答ありがとうございます
疑問に答えてもらえ、すっきりしました。

回答No.5

mister_moonlight

気がつくだろうが、書き込みミス。。。。いつもの事か。。。。ｗ

(誤)(1)t≧0の時、(3t-1)*(9t-7)＝0　→　x=2/3、2/9。
(正)(1)t≧0の時、(3t-1)*(9t-7)＝0　→　x=2/3、8/9。

回答No.4

noname#247928

解答にある場合分けには、条件が伴います。その条件を明記してないのなら、良い解答とは言えません。

例えば、|x-1|=2x+1の絶対値を外すとします。
x-1=2x+1となるのは、x≧1の時だけです。
x-1=-2x-1となるのは、x＜1の時です。

絶対値の中身が正か負かにより(1)か(2)かが決まるので、条件も無しで場合分けはできません。

設問に戻ります。

(1)の式になるには、2|2x-1|-1が正でなければなりません。これを解いてみます。
2|2x-1|-1≧0
2|2x-1|≧1
∴x≦1/4もしくは3/4≦x
となります。(ここの出し方は飛ばします)

x=8/9,4/15の２つで、これを満たしているのは8/9ですね。

(2)も同様にしていくと、1/4＜x＜3/4という条件が出ます。(ちょうど(1)じゃないトコ)
これを満たすのは2/3の方ですね。

そして(1)の解き方ですが、解答の方法以外だと、両辺を2乗するか、グラフでしょう。グラフは解答の場合分けと近いです。

両辺を2乗する方法は、言葉通りです。正でも負でも、2乗すればどちらも正になるので、絶対値が外れます。でも計算が非常にめんどくさいです。

次にグラフで出す方法ですが、絶対値が２つあるときはあまりオススメしません。なので、質問者さんの書いているように、絶対値を１つにしてから使うのがいいと思います。

1.まず少し変形(左辺を絶対値のみにします)
2|2x-1|-1=x-1/3
|4x-2|=x+2/3

2.グラフにするため、２つに分ける
y=|4x-2|
y=x+2/3

3.上の２つのグラフの交点が、求める値。(画像参照)
絶対値があるグラフは、x軸で折り返せばokです。このとき「絶対値だけの式」に直していないと、折り返す場所が様々になるので、1.の変形は大切です。

結局はy=4x-2とy=-4x+2で２回計算しないといけないので、手間としてはあまり変わらないですね。
ただ、解答はこの場合も条件を書いていないようですが、出た２つの値が条件を満たしてない場合もあります。そんなときグラフを書いていると、グラフが交わらずに「あ、解ナシだ」と気づけます。(その場合、点線で書いたとこでグラフが交わってたりします。)

今回の問題では、グラフの恩恵をあまり受けられません。しかし、解の個数を判別するときなどは重宝するので、知っていて損はないと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
グラフは確かに、絶対値が２個の場合はそんなにわかりやすくないと
思いました。解答では書かれていないけれど。絶対値を外したときに、条件が隠されていたのですね。

回答No.3

mister_moonlight

誤解されやすい解なので、訂正。。。。。ｗ

(2)t≦0の時、(15t＋7)*(27t＋15)＝0　ところが、-1/3≦t≦0　だから、15t＋7＝0と27t＋15＝0は求める解ではない。

回答No.2

mister_moonlight

我ながら、余りスマートな解法とは思わないが。

2x-1＝tとすると、2x＝1＋tから　条件式は　6｜2｜t｜-1｜＝3t＋1と変形される。
｜2｜t｜-1｜≧0から、これは　3t＋1≧0、and、36(2｜t｜-1)＾2＝(3t＋1)＾2と同値。
結果は、135t＾2-144｜t｜-6t＋35＝0
(1)t≧0の時、(3t-1)*(9t-7)＝0　→　x=2/3、2/9。
(2)t≦0の時、(15t＋7)*(27t＋15)＝0　→　x=8/9、4/15。

お礼

回答ありがとうございます。
同値関係の式変形になれていないと
どこかで、間違えそうになります。（私の場合）