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「群G、あるa∈Gにおいて、aG⊇G」は成り立つか？
お世話になります。よろしくお願いします。 「群G、あるa∈Gにおいて、aG⊇G」が成り立つことの証明を知りたいのですが。 Gが有限群の時は簡約律（ag＝ag'ならg=g'）から元の個数が等しいので aG＝Gになるというのが分かります。（多分） 問題は群Gの元の数が無限の時です。 一般的に 「群G、あるa∈Gにおいて、aG⊇G」は成り立つのでしょうか？ ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ここからは補足で、 この問題の出所なのですが、 「Hを群Gの部分群、a,b∈Gで b∈aH→aH＝bH」の証明です。 (証明) b＝ah(h∈H)とおける。 bH＝ahH＝aH(←ココでhH＝Hとしています。) となっています。（親切な代数学演習 現代数学社 p174）
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有限とか無限とか関係なく，もうちょっと群の定義を 理解したほうがいいです． Gの任意の元aに対して aG=G は当然成り立ちます だって・・「はみ出したら演算じゃない」でしょう？ まじめに証明するなら aGの任意の元は ag とかけ，これはGの元 よって G⊇aG Gの任意の元 g に対して a^{-1}gをとれば g=a(a^{-1}g)だから（結合律） gはaGの元． よって aG⊇G
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- zk43
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任意のx∈Gは、x=a(a^(-1)x)と表わされ、a^(-1)x∈Gだから、x∈aG よって、G⊂aG 逆のaG⊂Gは明らかだから、aG=G 有限か無限で分ける必要はないと思う。 群では必ず逆元があり、逆元を持つ元を全体に掛けても、全体としては 変わらないということです。 環とか体でも、逆元を持つ元（単元）を全体に掛けても、全体としては 変わらない。
お礼
御回答どうもありがとうございます。 実は昨日 「HH=H」というのを勉強しましてこれの利用も考えていたんですが、 全然違いました。(笑) aG=Gは証明のいろいろな所で使う機会が多そうですね。 >群では必ず逆元があり、逆元を持つ元を全体に掛けても、全体としては変わらないということです。 しっかりマスターします。 どうもありがとうございました。
- oldperson
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成り立ちます。 aの逆元をa'とすれば、任意のb∈Gに対して b=aa'b=a(a'b) a'b∈Gなので b=a(a'b)∈aG
お礼
御回答どうもありがとうございます。 元の数が有限とか、無限とか頓珍漢な方向で考えてまして 恥ずかしいです。 >b=aa'b これは思い付きませんでした。 なぜ思い付かなかったのか今考えてます。 aG⊇Gの両辺左からa^(-1)を掛けて G⊇a^(-1)Gとすれば良かったんでしょうか・・・？ これなら明らかですよね！？ どうもありがとうございました。
お礼
早速の御回答どうもありがとうございます。 >g=a(a^{-1}g)だから 全然思い付きませんでした。 恥ずかしながら、全然自分の引き出しにはないやり方でした。 どうもありがとうございます。 >有限とか無限とか関係なく， 本当に考えが明後日の方に進んでました。 こちらで聞いて良かったです。 こうゆう証明までは本に載ってないので、 自力でサラッと思い付けるようでないと、本も全然進みませんね。 （1週間で2ページとか） もっと精進します。 どうもありがとうございました。