群論の問題についての疑問があります。A を半群とし、集合として有限集合であるとする。A において左簡約律「ab = ac ならば b = c」と右簡約律が成り立つならば A は群であることを示せ。
写像 f : A → A を f(x) = ax で定めるたとき、A は有限集合なので f は全射となることの正確な理由がわかりません。
また、Gが無限半群であるときはAが群であることを示すことができませんが、そのような例があります。
群論の問題
「A を半群とし、集合として有限集合であるとする。A において左簡約律「ab = ac ならば b = c」と右簡約律が成り立つならば A は群であることを示せ。また、Gが無限半群であるときはそうはならないが、そのような例を示せ。」
という問題で、「写像 f : A → A を f(x) = ax で定めるたとき、A は有限集合なので f は全射となる」ことの正確な理由がわかりません。(本当にすべての元に写るようなxが具体的にきちんと存在するのか？単射性は簡約律からわかります。)
また、後半の例について、どのような例があるのかがわかりません。
もしも可能であれば、お教え頂けると大変有り難く思います。
お礼
お返事を頂き、有り難うございます。 お陰様で、きちんと理解することができました。