部分群の問題なんですが・・・

質問

ＨをＧの部分群としてＧの元a,bに対して
a～b⇔a＾(-1)b∈H と定義するとき
（１）関係～は同値律を満たすことを証明
（２）aの同値類をaとＨを用いて表せ
という問題なんですが、まず（１）の同値律を満たすことを証明というのはどういうことを証明すればよいのかわかりません。また（２）について、同値類をaとＨを用いて表すというのが問題の意味すらよくわかりません。何かアドバイス頂ければありがたいのですが・・・よろしくお願いいたします！！

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

群とは（部分群でも）ある演算に閉じていて
単位元、逆元、が存在。演算に対する結合法則が成り立つ
という性質を使います。

(i)　ａ～ａの証明
ａ^(-1)*a＝ｅ∈H （なぜならばＨは部分群だから単位元を要素に持つ）

(ii)　「ａ～ｂならばｂ～ａ」　の証明　（当たり前といわないように。左右入れ
替えて成り立つかどうか？）

ａ～ｂ　が成り立つとすると　a＾(-1)b∈H
Ｈは群だからＨの元には逆元も存在する。

a＾(-1)b　の逆元は（a＾(-1)b）^(-1)＝b＾(-1)a∈H
これは　ｂ～ａ　が成り立つことを意味する。

(iii)　ａ～ｂ，ｂ～ｃ　ならばａ～ｃ　の証明
ひとつぐらい残しておきます。自分でやらないと力はつかないと思いますから。

（２）はそのままでしょう。
a＾(-1)b∈H が成り立つようなｂを集めた集合

｛ｂ｜a＾(-1)b∈H ｝

簡略にｂ＝ａＨ　なんて書き方もしたような・・・

回答No.1

liar_adan

(1)同値律を満たすというのは、「～」が同値関係になるということ。
で、同値関係になるというのは、次の3条件を満たすことです。
(i) a～a
(ii) a～b ⇒ b～a
(iii) a～b , b～c ⇒ a～ｃ
それぞれ反射律、対称律、推移律といったかな。
「～」の定義から考えて、これら3つが成り立っていることを表せば
同値律を満たすことの証明になります。Hが部分群であることを使えば
できると思います。やってみてください。

(2)aの同値類というのは、Gの元 a に対して、aと同値となる元すべての
集合を指します。記号で書けば{x∈G|a～x}です。
(これは必ずしも部分群ではありません）
これを、～の定義を考え、Hを使って表現すればいいわけです。