群論の交換子群について

質問

（問題）
Gを群,HをGの部分群とする.また,[G,G]をGの交換子群とするとき,

[G,G]⊂H⇔H\GかつG/Hがアーベル群

となることを示せ.

ここで,H\GはHがGの正規部分群であることを表し（記号が環境依存文字だったので\で代用させていただきました）,G/HはHによる商群とする.

（質問）
この証明なのですが,H\Gは証明できました,しかし,G/Hがアーベル群であることが示せません.

手持ちの参考書には,任意のGの元a,bに対して,

{a^(-1)b^(-1)ab}H=H・・・(1)

であるから,

(aH)(bH)=abH=ba{a^(-1)b^(-1)ab}H=baH=(bH)(aH)

よって,G/Hはアーベル群である.

とあるのですが,(1)が示せません.
(1)が示せれば後は簡単なのですが,ここが理解できないので困っています.
a^(-1)およびb^(-1)はそれぞれa,bの逆元です.

どなたか群論に詳しい方よろしくお願いします.

回答No.1

koko_u_u

a^(-1)b^(-1)ab ∈ H から明らか