正規部分群の基本性質の証明について。

質問

またお世話になります。よろしくお願いします。

正規部分群の基本性質の証明問題です。
問題＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
「∀a,b,c,d∈G,aH＝bH,cH＝dH→acH＝bdH」
ならば
「∀a,b∈G,aH＝bH⇔Ha＝Hb」
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

方針、ヒントだけでもよいのでよろしくお願い致します。

回答No.3

kobold · ベストアンサー

「∀a,b∈G,aH＝bH,b^{-1}H＝b^{-1}H→ab^{-1}H＝H」について
仮定の「∀a,b,c,d∈G,aH＝bH,cH＝dH→acH＝bdH」で、
分かりやすいように変数名を変えると、
「∀x,y,z,w∈G,xH＝yH,zH＝wH→xzH＝ywH」です
ここでx=a,y=b,z=b^{-1},w=b^{-1}とおくと
「∀a,b∈G,aH＝bH,b^{-1}H＝b^{-1}H→ab^{-1}H＝H」です
仰有るとおり「b^{-1}H＝b^{-1}H」は自明ですので、
「∀a,b∈G,aH＝bH→ab^{-1}H＝H」が示せたことになります
後は「ab^{-1}H＝H」と「Ha＝Hb」が同値であることを示して終わりです

お礼

ご回答どうもありがとうございます！

私の力不足で同じ解答を３度も書いて頂くことになり、すみません。
お陰様でようやく理解するできました。

c,dをどのように選ぶかという部分がこの問題の一番ポイントとなる部分だったのですね。
Ｎo.1の解答の最初の７行目の意味がようやく理解できました。

前回質問に引き続き、
私の稚拙な質問に最後までお付き合い下さりどうもありがとうございます。
大変助かりました。

回答No.2

kobold

>解答部分で導くべき結論部を『・・・★』としたのですが、
>この結論部を導くことなく、最後に★よりとして解答を終えているような気がするのですが、どうでしょうか？
失礼ですが、言っておられる意味がよく分かりません。
★４つは全部同値ですよね？
最初の７行は単に考え方を書いているだけで、後半の２行と４行が回答になります。
前回は「問題の解き方」を書いてみましたが、今度は回答を書いてみます。

まず仮定ですが、「∀a,b,c,d∈G,aH＝bH,cH＝dH→acH＝bdH」。
示すべきことは「∀a,b∈G,aH＝bH→Ha＝Hb」
「∀a,b∈G,Ha＝Hb→aH＝bH」の２つ。

最初に「∀a,b∈G,aH＝bH→Ha＝Hb」を示しましょう。
∀a,b,c,d∈G,aH＝bH,cH＝dH→acH＝bdHより、
∀a,b∈G,aH＝bH,b^{-1}H＝b^{-1}H→ab^{-1}H＝H
→∃h∈H,h=ab^{-1}→∃h∈H,a=hb→Ha=Hb

逆に「∀a,b∈G,Ha＝Hb→aH＝bH」の方を示しましょう。
∀a,b,c,d∈G,hH＝H,bH＝bH→hbH＝bH
今、Ha=Hbより∃h∈H,a=hbなので、aH=bH

補足

ご回答どうもありがとうございます。

理解力不足ですみません・・・。

解答の

「最初に「∀a,b∈G,aH＝bH→Ha＝Hb」を示しましょう。
∀a,b,c,d∈G,aH＝bH,cH＝dH→acH＝bdHより、
∀a,b∈G,aH＝bH,b^{-1}H＝b^{-1}H→ab^{-1}H＝H
→∃h∈H,h=ab^{-1}→∃h∈H,a=hb→Ha=Hb」

の部分の３行目なのですが、
2番目の項「b^{-1}H＝b^{-1}H」は自明な式のような気がして、最後の矢印「→ab^{-1}H＝H」の部分がなぜ成り立つのかもよく分からないのですが・・・。

すみませんが、補足をお願いしたいのですが・・。
よろしくお願い致します。

回答No.1

kobold

前回のように答えだけを書いても面白くないので、今回は考え方も書いてみます。

一般に、正規部分群の問題は、
aH=bHをすべて∃h∈H,a=bHで置き換えると見通しがつきやすくなります
仮定は「∃h,j∈H,a=bh,c=dj→∃k∈H,ac=bdk」
結論は「∃h∈H,a=bh⇔∃k∈H,a=kb」
ac=bdkとa=kbの形をどうあわせるかを考えます
左辺に移行してack^{-1}d^{-1}b^{-1}=1とab^{-1}k^{-1}=1
こうするとc=b^{-1},d^{-1}b^{-1}=1にできないかと考えます

「∀a,b,c,d∈G,aH＝bH,b^{-1}H＝b^{-1}H→ab^{-1}H＝H」
最後の部分は∃h∈H,h=ab^{-1}より、a=hbなのでHa=Hbが成立します。

逆ですが、∃h∈H,a=hbを仮定します
最終的にaH=bHを示したいので、hbH=bHが示せればいいわけです。
最終的な形がこうなるように、a,b,c,dを考えると、
「∀a,b,c,d∈G,hH＝H,bH＝bH→hbH＝bH」

お礼

前回に引き続きどうもありがとうございます。
またお世話になります。よろしくお願いします。

少し回答で分からないことがあるのですが、

「仮定は「∃h,j∈H,a=bh,c=dj→∃k∈H,ac=bdk」
結論は「∃h∈H,a=bh⇔『∃k∈H,a=kb★』」
ac=bdkとa=kbの形をどうあわせるかを考えます
左辺に移行してack^{-1}d^{-1}b^{-1}=1と
『ab^{-1}k^{-1}=1★』
こうするとc=b^{-1},d^{-1}b^{-1}=1にできないかと考えます

「∀a,b,c,d∈G,aH＝bH,b^{-1}H＝b^{-1}H→『ab^{-1}H＝H★』」
最後の部分は『∃h∈H,h=ab^{-1}★』より、a=hbなのでHa=Hbが成立します。」

解答部分で導くべき結論部を『・・・★』としたのですが、
この結論部を導くことなく、最後に★よりとして解答を終えているような気がするのですが、どうでしょうか？
私の勘違いでしたらすみません。