部分群であることの証明

質問

部分群であることの証明
Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a～b⇔ab^(-1)∈H」なる～ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。

部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、
同値関係の定義については理解しています。

ですが証明文を書くことができず、困っています。

回答よろしくお願いします。

回答No.23

B-juggler · ベストアンサー

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな？

この問題では二つの同値　～　と　⇔　がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体（０を除く）　（以下、Ｒ０　と書くことにしますね）と

演算子掛け算　×　を持ってくると、群の定義は？

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

Ｒ０の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

　＃無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「１」ですね。　任意のＲ０∋ｃ　について、

ｃ×１＝ｃ　動かないので単位要素だね。

逆要素は、ｃ＾（－１）だね。　ｃ×（１／ｃ）＝１　単位要素に帰るわけだから。

　＃０をどけたのは、これができないから。

例）　ｃ＝√２　のとき　ｃ×ｃ＾（－１）＝√２／√２　＝１

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Ｈもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな？　そしたら少しつかめると思うけど。

そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ～と思ってました。

「群論への３０講」　志賀浩二　著　朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ（＾＾；）

本屋さん（大きな）に行く機会があったら、捜してみて？

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。

代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな？

群　って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね？

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。

でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにＨの要素を

持ってきてみて？

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。

回答No.24

koko_u_u

>>例えば、「任意の a について a ∈ H ⇒ a^(-1) ∈ H 」が言えたとしても、
>>H が空集合である可能性を排除できません。

>これ…どうして空集合である可能性を排除できないのですか??
>任意の元について言っているのだから空集合にならない…とずっと思っていました…。

記号論理の基礎です。
a∈H となる a がひとつもなければ、命題「a ∈ H ⇒ a^(-1) ∈ H」は成立しています。

回答No.22

B-juggler

分かっているんだけど、わかっていないんだろうなぁ～＞＜

惜しいんですよ。難しく考えすぎているのと、記号に追われてしまっている気がしています。

こういうときに、目の前でひざを付き合わせられないのが、口惜しい。。

う～ん、群　の表記も少し甘いし（ごめん書き方がちょっときついね）、

理解されているかどうかの例が、出てこないんだよなぁ。

群は　２項代数だからね、演算子と、要素がなにか。

この二つは、最初に書かないとね。

で、Ｚ＝３Ｚ　と書かれているけど、この表記はまずいよ。

日本語でも英語でも、説明できないから。

式や記号はあくまで言葉でしかないんだから、自分だけ分かっているんじゃダメなんだ。

一回ね、戻ったほうがいいかも。

何度も書いていることだけど、この群について、考えてみよう。

要素：０を含まない実数全体。
演算子：四則演算の掛け算。

これをＧとしたときに、Ｇが群になることは示せるよね。

それからＨと言う集合を考えてみよう。

問題文のとおりに行けば、空集合にはならないからね。

ａ，ｂ　は　どういう風にとってこられるか？

一段ずつ登ろう。ピラミッドも一段ずつしか積めなんですよ＾－＾

ちょっと勘違いがあるかもしれないから、念のため。

定義されている、のではなく、題意より　のほうがこの場合は正しいと思う。

問題によって定義されていることだからね♪

こんなことは分かっているんだ！　と言いたいかもしれないけれど、

どこまであなたが理解されているか分からないから。

僕の学生さんじゃないからね。教わり方が違うから。

ちょっと長くなるけど、もう一つ書いておこう。

「０」「１」「２」の例があったね。

あのときに、「０」＝｛０，３，６，９，１２・・・・・・｝
　＃以下略
とできる。としましたね。

とすると、　３～６　がいえるか？

これはいえるよね。　同値の題意によって。

ところが、値としては、全く別のものだよね。

３＝６　これは　偽　ですね（！）。

「３で割った余りは０ですよ」　なので　題意より　「同値（～のほうで）ですよ」。

こうなんだよね。　ここ大事だよ。

すごく当たり前のことだけど、記号だけ追うと、見えないからね。

気をつけてね。

長文ごめん。　２人いますからね。ダイジョウブなんだ。

理解はできるようになるはずだよ。

あくまで言葉と言うことを忘れずに。

ＰＳ．　補足はｋｏｋｏさんがやってくださっていますので、省略させていただきました。

補足

ご指導ありがとうございます。

＞要素：０を含まない実数全体。
＞演算子：四則演算の掛け算。

演算子はわかるのですが、どうして０を含まない実数全体だとわかるのですか??
Gは群であることは書かれていますが、実数かどうかはわからないのでは…

＞定義されている、のではなく、題意より　のほうがこの場合は正しいと思う。

わかっていませんでした…
ご指摘ありがとうございます。

同値の説明すごくわかりやすかったです!!
３＝６にはなりませんよねー
同値関係って“性質的に同じ”値っていうふうに捉えても大丈夫ですか??

回答No.21

koko_u_u

例えば、「任意の a について a ∈ H ⇒ a^(-1) ∈ H 」が言えたとしても、H が空集合である可能性を排除できません。
これを踏まえてもう一度考えましょう。

補足

ご指導ありがとうございます。

Gが群であることからGの部分集合Hは空集合ではあり得なくなっている!!
…また違うかなぁ。

＞例えば、「任意の a について a ∈ H ⇒ a^(-1) ∈ H 」が言えたとしても、H が空集合である可能性を排除できません。

これ…どうして空集合である可能性を排除できないのですか??
任意の元について言っているのだから空集合にならない…とずっと思っていました…。

回答No.20

koko_u_u

>ab^(-1)がHに含まれているとしていることによって、Hが空集合であることはあり得なくなっている!!

残念。やり直し。
その a, b が何処からやってきているのか再度補足して下さい。

補足

ご指導ありがとうございます。

＞その a, b が何処からやってきているのか再度補足して下さい。

a,bはGからやってきています。

Hが空集合でない理由は…
H∋aに対して、a^(-1)∈Gが存在する
ということを用いますか??
…またかけ離れた答えになっていますか??

回答No.19

koko_u_u

>「前提条件」はGが部分群であるということですか??
>Gは部分群なので、Gは空集合ではなくて、
(略)
>Hは空集合であることはあり得なくなる、ということでしょうか??

あー。すごく遠ざかった。
単に部分集合というだけなら、空集合も部分集合でしょ？

数学では、いちいち自分の考えた論述のステップ(○○ならば△△)を疑いながら進まないと。

補足

ご指導ありがとうございます。

ab^(-1)がHに含まれているとしていることによって、Hが空集合であることはあり得なくなっている!!

回答No.18

koko_u_u

ANo.16の補足を読んでなかった。

>「Gを群、HをGの部分集合とする。いま、Gの任意の元a,bに対し、ab^(-1)がHに含まれているとするとき、
>aとbは同値関係であると定める。このとき、HはGの部分群である。」
>というふうに解釈するのでは!!?

惜しい。非常に惜しい。

>…とすると、Hは3Zとか、7Zとか、色々ありますが、前に3Zで考えたとき、
>あれから明らか（？）に Z=3Zになりますよね。

ちゃうねん。最初の時点で、H は 3Z とか 7Z とかのような部分群かどうかわからんのよ。
極端な話空集合かもしれんのよ。
でも「前提条件」によって空集合であることはあり得んのよ。

さあ「前提条件」は何でしょう。

補足

ご指導ありがとうございます。

惜しい…というのは、
>「Gを群、HをGの部分集合とする。いま、Gの任意の元a,bに対し、ab^(-1)がHに含まれているとするとき、
の、
＞Gの任意の元a,bに対し、ab^(-1)がHに含まれているとする
の部分でしょうか??

「前提条件」はGが部分群であるということですか??
Gは部分群なので、Gは空集合ではなくて、
HがGの部分集合になっているということは、
Hのすべての要素がGの要素となっているので、
空集合でないGの要素となる要素がHの中に含まれているので、Hは空集合であることはあり得なくなる、ということでしょうか??

回答No.17

koko_u_u

>日本語で考えると…
>「群Gの任意ん元aに対して、aとaが同値関係のとき、aはaa^(-1)∈Hと定義されている。」
>となると思います。

全然違います。
というか、それで日本語として意味が通っていますか？
何が前提条件か考えながら上記の文を書いていますか？

回答No.16

B-juggler

そういうことを言っているのではないんだけど。。

単射が示されるとか、全単射だとか、そういう以前の問題かも？

先走りすぎていると思いますよ。濃度なんかは、まだ先でいいよ。

今は、問題がちゃんと理解できているか？のほうが大事。

何回も書いているけど、群Ｚを　演算子掛け算（四則演算の）、実数全体として

部分集合Ｈを考えてみて？

そして、問題の条件に当てはまるような、ａ，ｂを取ってくる。

まずこれができるかどうか。

次に一般にまで広めればいいから。

（ア）に当たるのかな？　問題の意味が理解されていないところが

まだ見えますよ。

分かった気になってはいけないから、ちゃんとしておこうね。

＞「a～b⇔ab^(-1)∈H」なる～ が同値関係であるとする。

この説明ができてないと、どうしても解けてないことになりますね。

説明できないと、意味が分かっていないことになる。

「～」　の記号は、前に書いたとおり。

だいぶヒントは出しているつもりなんだけどな・・・。

記号に踊らされている気がしますよ。

多分、説明できないけど分かった気になっているんだと思う。

こういうのは放っておくと、後々苦労するよ。

ｋｏｋｏさんも書かれてあるとおり、部分集合Ｈ　の取り方は？

これが前提条件になるんじゃないかな？

記号論じゃないからね。数学も言葉の学問だからね。

これは別な質問なんだけど、

この問題にでてくる　「～」　と　「⇔」　の記号。

どこがどう違う？　定義されたもの？　

だとしたらどういう意味かな？　違いはなんだろう？

こういうところから固めていくのも一つの道かもしれない。

余計なことかもしれないけれど。ｍ（＿　＿）ｍ

補足

ご指導ありがとうございます。
全然余計じゃないです!!
むしろ全然理解できていない私にこんなに長くご指導して下さっていることに感謝です。

Zを群、Hをその部分集合とし、m,n∈Zに対し、「m～n⇔n-m∈H」なる～ が同値関係であるとする。このとき、HはZの部分群である。

Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}が群、HをZの部分集合とする。
Zの任意の元m,nに対し、mとnが同値であるとき、n-mはHに含まれると定義する。このとき、HはZの部分群である。

…ということでしょうか??

…と書いているときに、思ったのですが…kokoさんの補足に（ア）を日本語で説明したのですが、間違った気がしてきました!!上のZのことについても…!!

Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a～b⇔ab^(-1)∈H」なる～ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群である。
問題文はコレ↑ですが、
「Gを群、HをGの部分集合とする。いま、Gの任意の元a,bに対し、ab^(-1)がHに含まれているとするとき、aとbは同値関係であると定める。このとき、HはGの部分群である。」
というふうに解釈するのでは!!?

そう考えると…
＞Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}が群、HをZの部分集合とする。
Zの任意の元m,nに対し、mとnが同値であるとき、n-mはHに含まれると定義する。このとき、HはZの部分群である。

…ではなく、
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}が群、HをZの部分集合とする。
いま、Zの任意の元m,nに対し、n-mがHに含まれているとすると、mとnは同値関係であると定められる。このとき、HはZの部分群である。
というふうになるのでは…。

…とすると、Hは3Zとか、7Zとか、色々ありますが、前に3Zで考えたとき、あれから明らか（？）にZ=3Zになりますよね。

回答No.15

koko_u_u

>疑問を抱きながらの証明で、今もその疑問は解決していません。

解決はかなり遠そうですね。
まだ問題文に挙げられている「前提」がなにかわかっておられないようです。

>aa^(-1)∈Hより、というのは(ア)からです。
では(ア)をよく日本語で考えて、何が前提で、何が定義で、H に要素 e が存在することが何処から導出されているかを説明して下さい。

>きちんと言葉で言えなければ…とは思うのですが、とりあえず記号で。
つまりは記号の意味する所が理解できていない、ということです。
こればっかりは、自分で何とかするしかありません。

補足

ご指導ありがとうございます。

>G∋aに対して、a～aはaa^(-1)∈Hと定義されている。…(ア)

日本語で考えると…
「群Gの任意ん元aに対して、aとaが同値関係のとき、aはaa^(-1)∈Hと定義されている。」
となると思います。

＞H に要素 e が存在することが何処から導出されているかを説明して下さい。

上の日本語から考えると、
「群Gの任意ん元aに対して、aとaが同値関係」であることから、Hに要素eが存在することが言えるのだと思います。

回答No.14

B-juggler

ハイ　お疲れ様　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

ほとんど終わったね。

惜しいけどね・・・・

えっと、「～」の記号の意味は、だいたいＯＫでしょう。

もうちょっと簡単にいくと、「結果的に同じことになるよ」と言うことです。

「０」「１」「２」のたとえで（Ｎ＝０，±１，±２，・・・・を３で割ったときのあまり）
　＃３を底とする剰余　などとも言います。

（１）～（３）まできれいにやって見てくれているから、

ダイジョウブだとは思います。

要は「結果的に同じになっている」と言うこと（！）。

これが大事なんですよ♪

で、惜しいのは、ａ＝ｂではないんです。
　＃これが代数の厄介なところ（＞＜）

結果的にはこうなっているけど、数値が必ず一致するとは限らない。
　＃あるいは、写像とかそういうものでも。

ので、部分群Ｈの中に、ａのインバース　が含まれているという、

根拠を示しておかないといけないんです。

つまり、「ｂのインバースがａのインバースと同じものになります」と、

これが分かれば、ＯＫです。

だけどもダイジョウブです。ａ～ｂ　が成立するように、２つの要素を持ってくれば、

お互いのインバースも　～　の関係は成立するはずですよ。

これを示すだけ、残っているのは。

何度も言っていますが、代数学は記号だけで理解しようとしてはダメだよ。

必ず言葉で、意味を理解しないと辛いからね。

文系の要素は強いんですよ　＾－＾

定理とか、定義なんかは、２の次３の次でいいよ♪

問題は、それが何を意味しているのか分かっているかどうかだから。

数字や記号ばかり追いかけていると、この分野は辛いよ。

いろんなことをやってみたほうが、いいかもしれないよ　＾－＾

何はともあれ、一段落いけたと思います。お疲れ様でしたｍ（＿　＿）ｍ

ついでに、部分群Ｈ　と　Ｚ　との大きさを比較してみて？

Ｚの取り方によっては、Ｈは部分群ではなく、Ｚと等しくなるかもしれないよ♪

補足

＞部分群Ｈ　と　Ｚ　との大きさを比較してみて？

つまり、濃度が等しいことを言えばよいのですよね??
これはHからZ、ZからHへの単射が示せればよいということですよね??