Sylowの定理と位数14の群

質問

G：位数14の群
N：Gの7-Sylow部分群
H：Gの2-Sylow部分群
とし，写像f：H→Aut(N)を
ｆ(h)=(n↦hnh^-1)
で定める．

このとき，
(1)Imf={e}⇒Gは巡回群
(2)fが単射⇒Gは二面体群と同型
であることを示せという問題なのですが，以下のように示しました．

(∵)
Sylowの定理より，Gの7-Sylow部分群の個数は1なので，NはGの正規部分群である．またN,Hの位数はそれぞれ7,2なのでともに巡回群となる．よってN,Hの生成元をそれぞれa,bとすると，a^7=e，b^2=e．一方，N∩Hの位数は2と7の公約数であることから1．ゆえにN∩H={e}．したがって
G=NH={a^i b^j | a^7=e,b^2=e}
(Gの任意の元はN,Hの元で一意に表せる)

また，NはGの正規部分群であることから，ある整数mが存在して，bab^(-1)=a^mとなる．ここで，
(a^m)^m=(bab^(-1))^m=b(a^m)b^(-1)=(b^2)a(b^(-2))=a
すなわち，a^(m^2-1)=eとなるので，m^2-1は7で割り切れる．ゆえにある整数lが存在して，
m^2-1=(m+1)(m-1)=7l
と書けるので，m=7l±1．

(1) m=7l+1のとき
bab^(-1)=a^m=a^(7l+1)=a ∴ab=ba
よってGはN,Hで直積分解でき，
G≒N×H≒Z/14Z （≒は同型の意）
ゆえにGは巡回群．

(2) m=7l-1のとき
bab^(-1)=a^m=a^(7l-1)=a^(-1)
よってGは二面体群と同型．

(証明終)

こんな感じで(1),(2)を一気に示したのですが，(1),(2)の仮定を一切使っておりません．(1)については別個に仮定を使って示せましたが，(2)はどこで仮定を使ってよいかわかりませんでした．

ご教示願います．

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

f:H→Aut(N)
f(h)=(n→hnh^{-1})
N={e,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6}
H={e,b}
(1)
f(H)={e}のとき
f(b)=(a→bab^{-1})=e=(a→a)
だから
bab^{-1}=a
∴ab=ba

(2)
fが単射
b≠e
f(b)(a)=a^m
f(b)(a^m)=a
f(b)(a^{m+1})=a^{m+1}
a^{m+1}から生成される巡回群(a^{m+1})は
素数位数の巡回群N=(a)の部分群だから
(a^{m+1})=N=(a)または(a^{m+1})=(e)となる
(a^{m+1})=N=(a)とすると
任意のa^n∈Nに対して,a^n=(a^{m+1})^k
となるkがあるから
f(b)(a^n)=f(b)((a^{m+1})^k)={f(b)(a^{m+1})}^k=(a^{m+1})^k=a^n
となってf(b)は恒等写像になり
f(b)=e=(a→a)
fは単射だからb=eとなってb≠eに矛盾するから
(a^{m+1})=(e)となる
→a^{m+1}=e
→a^m=a^{-1}
→f(b)(a)=bab^{-1}=a^m=a^{-1}