正規部分群の基本性質の証明について。

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

正規部分群の基本性質の証明問題です。

問題＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
Ｈを群Ｇの部分群とする時
『∀a,b∈Ｇ,aH＝bH⇔Ha＝Hb』
ならば
『∀a∈Ｇ,aH＝Ha』
を証明せよ。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

ヒントだけでもよいのでよろしくお願い致します。

回答No.2

kobold · ベストアンサー

すいません、私が勘違いしました。
前の回答は忘れて下さい。

まず、aH=bHならば、b∈aHであり、逆も言えます
そこで『∀a,b∈Ｇ,aH＝bH⇔Ha＝Hb』を次のように読みます
『∀a∈Ｇで、∀b∈Ｇに対してb∈aH⇔b∈Ha』
これはもちろん『∀a∈Ｇ,aH＝Ha』と同値です

お礼

ご回答どうもありがとうございます！

＞『∀a∈Ｇで、∀b∈Ｇに対してb∈aH⇔b∈Ha』
なるほど～。
このように考えればよいのですね。
どうもありがとうございます。

回答No.1

kobold

すべてのa,bに関して成立するならば、
a=bとしても、すべてのaに関して成立しますよね

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

a＝bというのは
十分条件『∀a,b∈Ｇ,aH＝bH⇔Ha＝Hb』に関して
a＝bとするのでしょうか？

そうしますと『aH＝aH⇔Ha＝Ha』となって十分条件は全く意味を成さない式になってしまうと思うのですが。
私の勘違いだと思うのですが、
もう少し説明を頂きたいのですが。

よろしくお願い致します。