群Gの部分集合Hが部分群になるための必要十分条件

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

群Gの部分集合Hが部分群になるための必要十分条件が
HH^(-1)＝H　であることを証明したいのですが、

「HH^(-1)⊆H」の部分までの証明は理解できたのですが、
等号を示すことができません。

分かる方、よろしくお願いします。

回答No.3

noname#62967 · ベストアンサー

> 現在理解できている部分は
> 「『Hが部分群』⇔『HH^(-1)⊆H』」
> 「『Hが部分群』→『HH^(-1)⊇H』」でして、

上記が示せたのであれば、命題は証明されたことになります。
もう一度命題の意味を確認してみてはどうでしょうか。

> 分からない所は
> 「『HH^(-1)⊇H』→『Hが部分群』」です。

これは成り立ちません。反例を見つけるのは簡単なので、もう少し考えてみてはどうでしょうか。

お礼

御回答どうもありがとうございます。

「Hが部分群」→「HH^(-1)⊆H」
「Hが部分群」→「HH^(-1)⊇H」
より「Hが部分群」→「HH^(-1)＝H」

「Hが部分群」←「HH^(-1)＝H」ですね。
解決しました！

> 「『HH^(-1)⊇H』→『Hが部分群』」です。
ここに嵌ってました。

お陰で助かりました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

kesexyoki

a,b∈H⇒a・b∈H
a∈H⇒a^(-1)∈H
という部分群の定義を用いれば用意に示せますね。

補足

御回答どうもありがとうございます。
No.1さんの補足にも書いたのですが、

現在理解できている部分は
「『Hが部分群』⇔『HH^(-1)⊆H』」
「『Hが部分群』→『HH^(-1)⊇H』」でして、

分からない所は
「『HH^(-1)⊇H』→『Hが部分群』」です。

もう少し詳しくヒントを教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.1

koko_u_

>「HH^(-1)⊆H」の部分までの証明は理解できたのですが、
>等号を示すことができません。

H が部分群としたときに、HH^(-1) ⊇ H が示せないということですか？
ほとんど自明なのでもう少し考えましょう。

補足

いつもお世話になっております。よろしくお願いします。

説明不足ですみません。

現在理解できている部分は
「『Hが部分群』⇔『HH^(-1)⊆H』」
「『Hが部分群』→『HH^(-1)⊇H』」でして、

分からない所は
「『HH^(-1)⊇H』→『Hが部分群』」です。

さらに数時間考えたのですが、今だに分かりません。
ヒントだけでもよいのでよろしくお願い致します。