gcd(p,q)=1,∃a,b∈G;#G=pq,#<a>=p,#<b>=qならばGは巡回群

質問

gcd(p,q)=1とする。(G,・)を位数pq(つまり#G=pq)のアーベル群とせよ。
aの位数がp,bの位数がq(つまり#<a>=p,#<b>=q)であるような元a,b∈Gが存在する時,
(G,・)は巡回群である事(つまり,∃g∈G;<g>=G)を示せ。
また,このような群Gの例を挙げよ。

という問題はどのようにして示せばいいか分かりません。

是非,ご教示ください。m(＿ ＿)m

回答No.1

rinkun

問題の条件においてGの元abの位数を考えてみましょう。
また例の方はp=2,q=3などとすればすぐに挙げられるでしょう。

お礼

有難うございます。

> 問題の条件においてGの元abの位数を考えてみましょう。

もしかしてabが生成元になるのですか?
p=2,q=3の時は<ab>={e,ab,(ab)^2=a^2b^2=b^2,a^3b^3=a,b,ab^2}で#<ab>=6=2・3と上手くいきましたが
p=3,q=5の時は<ab>={e,ab,a^2b^2,b^3,ab^4,a^2,b,ab^2,a^2b^3,b^4,a}で
#<ab>=11≠3・5と上手くいきません。

> また例の方はp=2,q=3などとすればすぐに挙げられるでしょう。

上の例でいいのですよね。

p=3,q=5の場合は上手くいきませんでした一般の場合は生成元は何になるのでしょうか?