部分群であることの必要十分条件

質問

次の命題って間違っていませんか？

「Ｈが群Ｇの部分集合であるとき
ＨはＧの部分群である⇔ＨＨ⊂ＨかつＨ^(-1)⊂Ｈ」

具体的に言うと、
「Ｈが群Ｇの『空でない』部分集合であるとき
ＨはＧの部分群である⇔ＨＨ⊂ＨかつＨ^(-1)⊂Ｈ」
が正しいのではないでしょうか？

そう思った理由は次の通り：

「空でない」という部分がないならば、
Ｈ＝φとすると、
ＨＨ＝｛ａｂ|ａ,ｂ∈Ｈ｝＝φ＝Ｈ
Ｈ^(-1)＝｛ａ^(-1)|ａ∈Ｈ｝＝φ＝Ｈ
よりＨ＝φは右の仮定を満たす。
しかしＨが空であるのでＨは部分群ではない。
したがって右を仮定したとき左が成り立たない。//

念のため部分群の定義を述べておきます：
群Ｇの「空でない」部分集合Ｈが
＊ａ，ｂ∈Ｈ⇒ａｂ∈Ｈ
＊ａ∈Ｈ⇒ａ^(-1)∈Ｈ
の二条件を満たすとき、Ｈは群Ｇの部分群であるとする。

回答No.3

hrsmmhr · ベストアンサー

すみません間違ってました。
ただ思いますに、空集合の元に対する条件の限定になんの意味があるのでしょう？
例えばHH⊂Hなど
そうであるともないとも言えないのではないでしょうか？
部分群の定義で空集合を含めないのも明確な定義にならなくなるからだと思います
でも確かに厳密にはあなたの言う通りだとは思います

お礼

二度も解答して頂き、ありがとうございます。

そこまで厳密に考えなければ、
このことはあまり意味のない質問であることは分かります。
ただalice_44さんのお礼にも書いた通り、
厳密な証明をしないと気が済まないので質問させて頂きました。

回答No.2

alice_44

そのとおりです。
だから何だということも
特にないような話ですが。

お礼

回答ありがとうございます。

自分の中で、数学に関しては厳密に証明していかないと気が済まないので、
このような質問をさせて頂きました。

回答No.1

hrsmmhr

右向きの証明のときの前提は
「HがGの部分群である」
なのでHは空集合でないのではないですか？

お礼

回答ありがとうございます。

問題としているのは、
左向きの証明のときに「空でない」という仮定が必要ではないか、
ということです。