群Ｇの部分集合Ｍによって生成されるGの部分群

質問

定理 群Gの部分集合Ｍによって生成される部分群H＝〈Ｍ〉はＭを含むGの部分群のうち最小なものである。

証明 H⊃ＭであることはHの定義より明らかである。また、Ｍを含むGの任意の部分群をＵとすれば、Ｍの元のべき積はすべてＵに含まれ、H⊂Ｕを得る。したがって、HはＭを含む最小な部分群である。

(1)なぜＭの元のべき積で表される元の全体Hは明らかにGの部分群なんでしょうか。
例えばもし部分集合Ｍに単位元、逆元がなかったらHは部分群にならないように思えます。
(2)証明の2文目までは理解できましたが、
「したがって」以降、つまり３文目が理解できません。H⊂ＵからなぜHが最小だと言えるのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.4

graphaffine · ベストアンサー

何処が納得いかないのかな。

例えば、Aを実数の集合とするとき、ある実数aが「Aに含まれ、Aの任意の要素より大きくない」ならば、aはAの最小値である。と言うことは、納得できますか。本質的には同じですよ。

もしかすると、部分群としての包含関係と部分集合としてのそれがごっちゃになっているとか。

お礼

ああそういうことか！

すべてGの集合Mを含む部分群の中にHが含まれればいのか！

そうすればHが最小って言えるわけですね

回答No.3

kabaokaba

具体例とかそんな話ではないです

「最小の部分群である」ことを証明せよ
というのだから
「最小の部分群」なる言葉の定義があって
それを満たすことを証明しなければいけません．

もし「最小の部分群」なる言葉の意味がわからないのであれば
何を証明するのかわかってないのですから
証明がわかるわけはないですよね．

教科書にどこかに書いてませんか？

お礼

最小の部分群なる言葉の意味がようやく分かりました！

回答No.2

kabaokaba

「Mを含む最小の部分群」という言葉の意味が
わかってますか？
この言葉の定義をかけますか？

補足

＞Mを含む最小の部分群

G⊃H⊃MでHはGの部分群で。。。。

何か具体例をあげてもらうと幸いです.....

回答No.1

graphaffine

>Ｍの元のべき積で表される元の全体

このべき積において、べき指数に0または負数も含む、
というような注意書きはどこかに無いですか。

それがあれば、疑問は解消されるはず。

補足

＞このべき積において、べき指数に0または負数も含む、
というような注意書きはどこかに無いですか。

ありました！ n_i∈Zのことですね！
これで(1)の疑問は解消されました。
しかし(2)がやはりわかりません。