テンソルの階級がよく分かりません。
テンソルとは、色々定義の仕方があるみたいですが、
多重線形性のある、多ベクトル空間からスカラーなど体への写像のことだと私は定義しています。
そこで、階級とは何かと思って調べたら、一般に添字の数とか書かれていました。
ですが、上の定義上でのテンソルではイマイチぱっときません。。。
例えば、ドメインにベクトル空間がp個、双対ベクトル空間がq個のテンソルの時、
”p-階反変 q-階共変テンソル”と呼ばれているので、
階級とは、テンソルの写像のドメインのベクトル空間の数のこと、と思っていたのですがあっているでしょうか？
そうすれば、例えば、ベクトル空間V1, V2があって
u∈V1,v∈V2として
その内積u・vは二個のベクトル空間の中の元を実数に対応する写像なので、T(u,v)とし、
二階のテンソルだと思うのですが、あっているでしょうか？
もっと言えば、
普通のベクトルの内積はT(u,v)=Σδ(i,j)u(i)*v(j)
δ(i,j)=クロネッカーのデルタ関数
u(i)とv(j)はそれぞれのベクトルの成分
そうすると、添字でのテンソルの定義だと、恐らくクロネッカーのデルタ関数がテンソルで、
添字が二個あるので、階級は二と、なる。。であってますでしょうか？
ですが、
例えば T(u,v)＝Σαu(i)*v(j)、
αは定数
とすると、添字はゼロ、（定数は成分に依存し無いので)、０階級になるのでしょうか？？
つまり、階級とは、ドメインのベクトル空間の元の個数に関係ないモノで、p-階反変 q-階共変テンソル、所謂テンソルの型の表現の階級とは別のものなのでしょうか？？
説明が下手でとても分かりづらい文章になってしまい申し訳ありません。
つまるところ、階級とは、一体なんのことなのでしょうか？？
お礼
どうもありがとうございます。参考になりました。