テンソルについて

質問

当方、趣味で一般相対論を勉強しています。

工学では、使われる引っ張り、圧縮、ねじり応力にてテンソルを学びました。

一般相対性理論で使われるテンソルとの違いを教えてください。

例えば、工学では使うけど一般相対性理論では使わないとかです。

回答No.2

yokkun831

私は工学や一般相対論に関する限り，専門家ではなくアマチュアですよ。

３次元テンソルは，単に時間成分を含んで４次元テンソルに吸収されるだけです。
たとえば，磁場は３次元において反対称２階テンソルとして表現されるのですが，なんとその４次元拡張は時間を含む成分に電場が現れ，電磁場のテンソルになるというのです。電場と磁場は４次元において初めて統一されるのです。電場の時間的変化が磁場を生じ，磁場の時間的変化が電場を生じるわけですから，あたりまえといえばそれまでですが。

回答No.1

yokkun831

数学的な意味では何も変わりありません。

３次元空間における現象の記述は，３次元テンソルの空間関係および時間変化が対象となります。スカラー量は０階テンソル，ベクトル量は１階テンソル，応力テンソルなどは２階テンソル…という具合です。一方，一般相対論では現象を時空のテンソルそのものの関係としてとらえます。時間変化も含めて時空内の４次元テンソルの「４次元空間上の変化」を記述することで３次元空間における変化と時間変化とを統一的に記述することになるわけです。したがって，４次元テンソルには時間成分が含まれます。

基本的に４次元量になりますから，たとえば２階テンソルは４×４の行列で表現されます。
また，単に複数の成分をまとめた量というより，３次元座標回転においてベクトルそのものは変わらずにその表現＝成分が変わるというのと同じで，特殊相対論でも一般相対論でも，座標変換（ローレンツ変換，一般座標変換）においてどういう変換を受けるか，という点がキーポイントになります。

また，相対論に登場するテンソルの記述で決定的なのは，３次元テンソルが固定されたユークリッド空間内の物理量の表現であるのに対して，物理量を表す４次元テンソルはその拡張として存在するものの，さらには時空の計量や曲率がテンソル量として扱われ，すなわち３次元では現象の「舞台」にすぎなかった空間と時間そのものが記述の対象となっていることでしょう。

お礼

> 数学的な意味では何も変わりありません。
親切な解説ありがとうございます。

＞　物理量を表す４次元テンソルはその拡張として存在するものの，さらには時空の計量や曲率がテンソル量として扱われ，すなわち３次元では現象の「舞台」にすぎなかった空間と時間そのものが記述の対象となっていることでしょう。

工学と一般相対論で応用上の違いはどうでしょう。
(1)　時間が入ってくる。
　これは大きな差ですが、３次元から４次元になったと考えることにします。

(2)　４次元の材料力学と一般相対性理論のテンソルは「時間の符合」以外は等価でしょうか。

　材料力学は３次元物体ですね。
　材料力学を４次元に拡張したとしたら、色々と記述すべき概念が出てくると思います。
＞
　その際、短縮、伸び、ひねりは、共通概念として残ると思います。
　ただし、短縮や伸びは６方向になります。
　でも、こういう違いは、本質でないと考えます。
＞
　例えば、３次元ひねりは、４次元の材料力学にあるように思えるんです。
　しかし、一般相対性理論に出てこないですね（たぶん）。
＞
　専門家に「つっこみ」をするほどに知識はもっていないです。
　気分を害したら、すみません。