テンソルについて教えて下さい。

質問

最近、テンソルを学び始めた者です。例えば１階テンソル(即ちベクトル空間)の成分が０階テンソルスカラーだったように２階テンソル空間？は１階テンソル(ベクトル)を成分とした線形空間みたいなものですか？もしそうだとすると例えば、ベクトルの基底変換行列の列成分は２階テンソルの斜行座標系?の基底みたいな感じなのでしょうか?
分かりにくくて申し訳なのですが回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

bran111

１階テンソルがベクトルというのはいいですか。

ベクトルをv,２階テンソルをTで表すとTとvの内積が新しいベクトルv'を作るというのが実用的な認識です。

v'=T・v

テンソル解析は回転等の物理の世界で使える実用的なものからきわめて抽象的な

「テンソルとはテンソル変換を満たすもの」

等という訳の判らないものまでありますがここでは実用的な３次元直交座標系において説明します。

この場合テンソルをきっちり把握できるのは成分表示です。単位ベクトルei(i=1,2,3),ベクトルの成分をxi(i=1,2,3)とすると

v=Σ(I=1,3)xiei

T=Σ(I=1,3,j=1,3)Tijei⊗ej

⊗はテンソル積を表す記号ですが内容はなくて表記上の便宜を図ったものと思えばいいでしょう。

v'=T・ｖ=[Σ(I=1,3,j=1,3)Tijei⊗ej]・Σ(k=1,3)xkek

ここで　

ej・ek=δij (δjk=0(j≠j),δjk=1(j=k))

よって

v'=T・ｖ＝[Σ(I=1,3,j=1,3)Tijxjei=Σ(I=1,3)[Σ(j=1,3j)Tijxj]ei

つまりv'は成分をΣ(j=1,3j)Tijxj (i=1,2,3)とするベクトルを与えます。

Tに座標回転のテンソル、座標系変換(デカルト座標系、球座標系、円筒座標系等の相互変換）テンソルを用いれば初期の回転，変換ができます。なお、これらはいずれも直交座標系で、テンソル解析において斜交座標を用いるのは破滅への道と教えられたことを覚えています。