１次元、２次元、３次元でのリーマンテンソルについて

質問

１次元、２次元、３次元でのリーマンテンソルについて

１次元、２次元、３次元でのリーマンテンソル：R_αβγδを計量テンソルg_μνやリッチテンソルR_μνやスカラー曲率Rを用いて表わす問題をやっているのですが・・・

１次元の場合はできました。

２次元の場合、自由度は１となるから

R_αβγδ＝(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)f・・・(☆)

という形になるはずであると答えには書かれているのですがなぜ（☆）のようになるのかわかりません。。。

また３次元の場合にも、

このとき、R_αβγδの独立成分の数は６。一方R_αβの独立成分に数も６であるからR_αβγδはR_αβの線形結合で書き直せるはずである。

R_αβγδ＝a(g_αγR_βδ-g_βγR_αδ-g_αδR_βγ+g_βδR_αγ)+b(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)R・・・(★)

と書けるとあるのですがこれもさっぱりわかりません。

(☆)(★)となることを教えていただけないでしょうか？

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

３次元の場合だけ。(３次元の場合が分れば２次元の場合も分かりそうなので)

1．R_αβ,R_αβγδの独立成分はともに６。
2．R_αβはR_αβγδたちの線形結合で書ける。係数はg^αβたち(特にg_αβたちの関数)で与えられる。
この２つを踏まえると、
R_αβγδはR_αβたちの線形結合で書ける。係数はg_αβたち(のみ)の関数である。
という事が分ります。

g_αβ(とg^αβ),R_αβを組み合わせて作れる4階テンソルのうち、R_αβについて1次のものは結局
g_ij g_kl g^mn R_mn = g_ij g_kl R
g_ij R_klの2つしかありませんので、R_αβγδはこの２つの形をしたものの線形結合で書かれる事になります。(ijkl)は(αβγδ)の並び替えです。
あとはR_αβγδ,R_αβ,g_αβの対称性を踏まえると、
>R_αβγδ＝a(g_αγR_βδ-g_βγR_αδ-g_αδR_βγ+g_βδR_αγ)+b(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)R
の形である事が導出されるんじゃないかな、と。

細かいことは考えてないので検算してください。

お礼

回答ありがとうございます。

質問なんですが、

2．R_αβはR_αβγδたちの線形結合で書ける。係数はg^αβたち(特にg_αβたちの関数)で与えられる。

といえるのはなぜですか？

回答No.2

yokkun831

>（１）g_μνに関する斉次４次式
という性質はなぜ言えるのでしょうか？

よく考えもせずに，いい加減なことをかいてしまいましたね。ごめんなさい。
私の勘違いでした。で，いろいろ考えてみてまだ自信はないのですが，次のように考えられないだろうか，と暫定的な説明を試みます。

２階以上のテンソルをg_μνで展開することは常にできる？　たとえば，

R_αβγδ=g_αγB_βδ

両辺にg^αβをかければ，

g^αβR_αβγδ = B_γδ

となり，これによってテンソルB_γδが定まるから。

なお，私が先に書いた説明は，ご紹介のテキストの記述の意味とは考察が異なりますね。テキストの方は，上のような展開が可能であることを前提に，未知のテンソルを仮定してそれを導出するのでなく，独立な成分の個数の一致からダイレクトに計量テンソルとリッチテンソルの積の和になることを結論付けています。これは，６個の未知数は６個の方程式で決まるというのとほぼ同義かなと思います。さらには，リッチテンソルがリーマンテンソルの縮約によって得られることから，「自明」といえるのかもしれません。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。

もう少し考えてみようと思います。ありがとうございました！

回答No.1

yokkun831

R_αβγδは

（１）g_μνに関する斉次４次式で，かつ
（２）
R_αβγδ = -R_βαγδ　すなわち(α,β)の置換について反対称
R_αβγδ = -R_αβδγ　すなわち(γ,δ)の置換について反対称
R_αβγδ = R_γδαβ　すなわち(α,γ)，(β,δ)の同時置換について対称

という対称性を持ちます。以下，３次元の場合について考察します。

（１）（２）を考慮すると，A_αβを２階テンソルとして

R_αβγδ = g_αγ・A_βδ - g_αδ・A_βγ + g_βδ・A_αγ - g_βγ・A_αδ…(i)

と展開できなければなりません。なぜなら，テンソルをいくつかの項に分けたときに，各項はもとのテンソルに階数の等しいテンソルであり，（１）から必ずg_μνを因子として含まなければなりません。なおかつ（２）の対称性から上の形だけが許されることがわかります。たとえば任意の２階テンソルが対称テンソルと反対称テンソルの和

T_αβ = 1/2(T_αβ + T_βα) + 1/2(T_αβ-T_βα)

で表されることを思い起こしてください。

(i)をα，γについて縮約すると，

R_βδ = g^αγ R_αβγδ
= g^αγ(g_αγA_βδ - g_αδA_βγ + g_βδA_αγ - g_βγA_αδ)
= 3A_βδ - A_βδ + g_βδA - A_βδ　※A=g^αγA_αγ
= g_βδA + A_βδ

さらに，

R = g^βδR_βδ = 3A + A = 4A

より，

A_βδ = R_βδ - 1/4・g_βδR

と書けることになります。これを代入した結果が★なのです。代入後の計算はおまかせします。テキストでは，一般にR_αβγδがR_αβとRの項の和として書けることを自明として（上の証明がすんでいるものとして），係数をa,bと書いたのでしょう。a=1，b=1/2になります。２次元についてはもっと簡単ですから考えてみてください。

お礼

回答ありがとうございます！

回答を参考に２次元、３次元の場合も求まりました。

一つ質問なのですが、

（１）g_μνに関する斉次４次式

という性質はなぜ言えるのでしょうか？