テンソルの等方性について

質問

数物系でよく出てくるテンソルですが、等方性を仮定するとした場合、制約がついてくるようです。
例えば２階のテンソルは、その表現は通常のマトリックスのようにPi,jとなると思います。これに等方性を仮定すると、
Pi,j=Aδi,j ここでδはクロネッカーのデルタです。これはどのようにして証明できるでしょうか。
テンソルを考える上でも基底ベクトルがあってそれによってテンソルの各成分Pi,jの表現が決まってくると思います。基底ベクトルを回転させても成分が常に同じとなる、というのが等方性だと私は思っているのですが。テンソルの成分変換もテキストには載っているので、変換前後で同じになるための条件を見ればいいのかなと思いますが、なんとなくうまくいきません。すべて勘違いかも知れません。
どうでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

＞基底ベクトルを回転させても成分が常に同じとなる、
＞というのが等方性だと私は思っているのですが。

ここまでわかってるなら答えは出ているようなものだと思いますが。
二階のテンソルの要件は座標変換

A' = U^T A U

にしたがうこと。
ここで、座標変換行列Uは実直交行列なので転置行列が逆行列U^T U = U U^T = E。
ゆえに、Aが単位行列Eのa倍、つまりA = aE なら

A' = U^T A U = a U^T E U = a U^T U = aE = A