数学 行列 テンソル について

質問

テンソルについて教えて下さい。

2階のテンソルやn階のテンソルですが、これは3×3の正方行列以外のものもあるのですか？
何件か資料を調べてみたのですが、どれも3×3の正方行列での説明で気になりました。

例えば、2×2や2×3の行列は2階のテンソルと言えるのでしょうか？

もう一点教えて下さい。
1階のテンソルの例も3次の列ベクトルでした。
例えば、
（a1）
（a2）
のように2次の列ベクトルは1階のテンソルと言えるのでしょうか？
また、列ベクトルではなく
（a1 a2）と行ベクトルも1階のテンソルと言っていいのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

NemurinekoNya · ベストアンサー

ベクトルは1階のテンソルです。
そして、
スカラーは0階のテンソルでございます。

普通、テンソルは、3×3ですけれど、2×2もあれば、4×4もあります。
1×1でも構いやしない（ニコニコ）。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>複数のベクトルを受け取り

これ嘘です。０個以上のベクトルを受け取り　ですね。

補足

ご回答ありがとうございます。

定義にもいろいろあるのですね。
テンソルは行列で表すと正方行列の形になると
いう理解で良いでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>テンソルを行列で表現する場合に、正方行列以外の例えば
>2×3の行列を2階のテンソルと言えるのかはやはり言えないよう
>な気がしますが、どうでしょうか？

あまり気にしないでください(^^;

一応定義のひとつを書いておくと、

複数のベクトルを受け取り、スカラーを返し、多重線形性のある関数を
テンソルという。２階のテンソルは T(u, v) という形。

u と v の基底を e1, e2, ・・・・, en とすると

T の成分 Tij は T(ei, ej)

なので正方行列と同じ形になります。

uとvが別のベクトル空間に属したらなんて考えたんですが、
少なくとも私の持っている教科書にはそういう定義はないですね(^^;

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

書き忘れましたが 数学では2×2も立派な2階テンソルです。
物理では3次元空間べクトル限定の場合、
3×3を2階のテンソルと言い切る教科書が有るようですね。

補足

ご回答ありがとうございます。

3×3以外もOKなんですね。
4×4でも2階のテンソルと言ってOKですね？

＞3×3を2階のテンソルと言い切る教科書が有るようですね。
3×3以外の例を見たことがなかったので暗黙の了解として
決まっているのかと思いました。

テンソルを行列で表現する場合に、正方行列以外の例えば
2×3の行列を2階のテンソルと言えるのかはやはり言えないよう
な気がしますが、どうでしょうか？
テンソルの定義として基底を使ったものがありました。
よって、テンソルは正方行列以外の表記はありえないのでは？
と考えました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

テンソルの添字の範囲は、
テンソルの定義に使われる
ベクトルの次元数なので、
全ての添字の範囲は同じになります。

ただこれは私の持っている教科書が皆
そうなっているだけかも。
次元数の異なるべクトルでテンソル
を定義すれば、2×3のテンソルも
可能なような気がします。

あと、テンソルの添字に縦も横も無いので
縦ベクトルと横ベクトルの区別はないです。