外積はなぜ2階のテンソルなのですか？

質問

昨日も質問させていただきましたが，もう一度質問させてください．

以下，クロネッカーのデルタとエディントンのイプシロン及びニュートンの総和規約を使っています．

内積はu・v=(δij)(ui)(vj)と表され，u,vの2つと縮約をとってやっとスカラー(0階テンソル)になるので内積を表すテンソルは2階テンソルだと思います．

外積はu×v=(εijk)(uj)(vk)と表され，u,vの2つと縮約をとってもまだベクトル(1階テンソル)です．外積操作が2階のテンソルならこの時点でスカラーになるはずですが，実際はベクトルになります．これは1階高い3階のテンソルだからなのではないのですか？

そして，ここでwとの内積をとるスカラー三重積(u×v)・w=(εijk)(uj)(vk)(wi)はスカラーであり，スカラー三重積を表すテンソルは3階のテンソルで間違いないですか？

以上ですが，できれば上の文章のどこが間違っているのかを指摘してくださればありがたいです．

回答No.4

noname#165208 · ベストアンサー

> 内積を表す関数T(u,v)=u・vは2つのベクトル(1階テンソル)の関数であり，双線形性を有するからTは2回テンソルですよね？では

その通り。正確にいうと ２階・非退化・対称・共変テンソル

> 外積を表す関数S(u,v)=u×vについて，Sは何階のテンソルでしょうか，という質問です．

そういう質問でしたか。
はい、これは反変ベクトル u, v について反対称・双線形で、反変ベクトルに値をとるから、
２階共変、１階反変の３階・混合テンソルです。成分で書くと、

ε^i_{ j, k }

ですね。
これはエディントンの反対称３階共変テンソル（体積要素）

ε_{ i, j, k }

の添字 i を上げただけだと思う。
貴方のいう外積は外積演算のルールで、その本質はエディントンのεなんですよ。
でもそれを外積とはふつう呼ばないですよ。

補足

回答ありがとうございます．外積操作と書こうとしたところ単に外積となっていました．誤解を招く表現で申し訳ございません．

3階・混合テンソルだということですが，

先日，ここでさせていただいた質問
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7811956.html

では，2階だと言われました．混乱してしまっています．よろしくお願いします．

回答No.5

alice_44

混乱しているのは、既に誰かが指摘していたけれど、
外積の値のテンソル型と、外積を二個のベクトルと
係数テンソルの縮約と見たときの係数テンソルの型
とをゴッチャにしたからですよ。

また、ひと口に「外積」と言っても、
高校やベクトル解析で言う「外積」と
テンソル代数で言う「外積」は別のモノです。
前者を「クロス積」、後者を「ウェッジ積」と呼んで
区別する場合もあります。

前回質問のベストアンサーで「外積は 2 階」とあるのは、
ウェッジ積の値が反変 2 価のテンソルだということ。

また、今回の A No.4 で「3 階」となっているのは、
クロス積の係数が共変 3 価のテンソルだという意味です。
これには少し誤解があって、クロス積の係数である
エディントンの ε は、実は、テンソルではなく、
擬テンソル(重み -1、共変 3 価の)なんですけどね。

参考↓
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/whats%20tensor15.htm
http://hooktail.sub.jp/differentialforms/AxialPolarSecret/

回答No.3

noname#171951

Rを実数全体とします。
x[1],…,x[n-1]∈R^nについて、
f(v)=det(x[1],…,x[n-1],v)
とするとfは線形なので、Rieszの表現定理から
あるy∈R^nが一意的に存在して<v,y>=f(v)
となります。
このyをx[1],…,x[n-1]の外積といいます。

v=(v[1],…,v[n])^T∈R^nに対してp[k](v)=v[k]
と置くと、(x[1],…,x[n-1])∈(R^n)^(n-1)にp[k](y)
を対応させる写像ははn-1重線形なので、
(n-1)階テンソルになります。

しかし、(x[1],…,x[n-1])∈(R^n)^(n-1)にy、
つまりx[1]×…×x[n-1]を対応させる写像は、
値が実数ではないのでテンソルにはなりません。

つまり、(n-1)階かn階かということ以前に、
n-1個のベクトルにその外積を対応させる写像は
そもそもテンソルですらないということです。
もちろんn=3でも同じです。

回答No.2

noname#165208

＞外積はなぜ2階のテンソルなのですか？

外積の結果と外積の演算ルールとを混同してるのでは？

ふつうベクトルの外積といったら外積演算の結果だよ。
それがベクトルだってことは分かってるみたいだね。

外積の演算ルールは体積要素という、貴公のいう３階反対称テンソルと
計量という非退化・２階対称テンソルの二つがあって初めて定義できるのは
当たり前で、その意味では３階反対称テンソル。

＞エディントンのイプシロン

これが３次元向き付きユークリッド空間における単位・体積要素です。

＞u,vの2つと縮約をとってもまだベクトル(1階テンソル)

この演算をホッジ・スター作用素といいます。

よってあなたは外積を大体、理解している。

まちがってるのは、ふつう外積といったら外積の結果（ベクトル）をいうってことを理解していない点。

回答No.1

ereserve67

一般にテンソルの一対の添え字の縮約をとると階数が下がります．だから，2階テンソルT_{ik}において

T_{kk}=T_{11}+T_{22}+T_{33}

はスカラー（0階テンソル）です．具体的に内積の場合T_{ik}=u_iu_kであり，これをu_i=δ_{ij}u_jとしてT_{ik}=δ_{ij}u_ju_kとかいて縮約をとると

T_{ii}=δ_{ij}u_ju_i=u_1u_1+u_2u_2+u_3u_3

となりスカラーです．分かりにくいならもっと直接的にスカラーであることを証明しましょう．座標変換u'_i=α_{ik}u_k,v'_i=α_{il}v_lによって

T'_{ii}=u'_iu'_i=α_{ik}u_kα_{il}v_l=α_{ik}α_{il}u_kv_l

ここで座標変換の性質α_{ik}α_{il}=δ_{kl}を用いると

T'_{ii}=u'_iu'_i=α_{ik}u_kα_{il}v_l=δ_{kl}u_kv_l=u_kv_k=T_{kk}

すなわち

T'_{11}+T'_{22}+T'_{33}=T_{11}+T_{22}+T_{33}

となり，座標変換によってT_{ii}=u_iv_iは不変だからスカラーなのです．だから内積はスカラーです．

外積u×v=(ε_{ijk}u_jv_k)についてはベクトル（1階テンソル）です．

（☆）一つ形式的なポイントは，自由な添え字がいくつあるかです．その個数が階数とみてよいでしょう．

スカラー三重積はその名の通りスカラーです．(u×v)・w=ε_{ijk}w_iu_jv_kにおいてi,j,kは和を取った後は消え去ります．つまり，自由な添え字は0個です．だからスカラーです．もちろん，

ε_{ijk}w_iu_jv_mならこれは添え字k,mの2階テンソル

と言うふうになります．ε_{ijk}3階テンソルが現れているからと言って，3つの1階テンソルの成分積があるからといって3階テンソルというわけではないのです．縮約によってテンソルの階数は下がります．

質問者様の誤解はおそらく，テンソルの階数を見かけの添え字の個数とみているのではないですか．☆をポイントに考えるといいと思います．

補足

少し解釈に差異があるようです．

外積の結果はベクトルだからそれが1階のテンソルであるということ，スカラー三重積の結果はスカラーだからそれが0階のテンソルであるというのは理解しています．そうではなく，

内積を表す関数T(u,v)=u・vは2つのベクトル(1階テンソル)の関数であり，双線形性を有するからTは2回テンソルですよね？では

外積を表す関数S(u,v)=u×vについて，Sは何階のテンソルでしょうか，という質問です．

内積に対応するテンソルTが2階だからu,vとの縮約をとって0階テンソルのスカラーになると解釈するならば，外積に対応するテンソルSはu,vとの縮約をとって1階テンソルのベクトルになるから3階ではないですか？，ということです．更に，wとの縮約をとる，つまりスカラー三重積(u×v)・wは0回テンソルのスカラーだから，スカラー三重積に対応するテンソルR(u,v,w)=(u×v)・wは3階のテンソルですよね，という質問です．

よろしくお願いします．