リッチテンソル？？？

質問

中西襄先生の相対論的量子力学の本に
アインシュタイン方程式に出てくる量がリーマンテンソルではなくリッチテンソルであるということは大切なことです。このことのおかげで、物質のないところでもリーマンの曲率テンソルがゼロでないということが可能だからです。
と書かれてあるのですが、どういうことなのでしょうか？

・リッチテンソルはリーマンテンソルを縮約して得られるものであり、それぞれ可逆に変換出来るものではないのですか？

・物質のないところでもリーマンの曲率テンソルがゼロでないということが可能ということがなぜ重要なのですか？

・リッチテンソルを使うことでなぜこのようなことがいえるのですか？

相対論は概論的なことは勉強したのですが、深いところはあまり分かっていません。どなたか教えて下さい。

回答No.1

shiara

空間が平坦であるとは、リーマンの曲率テンソルのすべての成分がゼロとなることです。リッチテンソルは、リーマンの曲率テンソルを縮約して得られますが、リッチテンソルのすべての成分がゼロであっても、リーマンの曲率テンソルの成分がゼロとは限りません。つまり、足し合わせた値がゼロであるだけで、元の値がゼロである必要はありません。
アインシュタインの方程式は、物質が存在しない場合は、単純に、
Ｒμν＝0
となります。上記で述べたように、この式からは、リーマンの曲率テンソルがどうなるかは言えません。平坦でない場合もあるということです。