テンソルについて（相対論）

質問

今相対論の勉強しはじめたようなとこなんですがテンソルというのがでてきました（メトリックテンソル）。だけどいまいちピンときません。結局テンソルって何なんですか？何に使うんですか？全然わかってません。誰か教えてください。お願いします。
（ちなみに一般相対論はまだ勉強してません。）

回答No.3

guiter · ベストアンサー

今、相対論の本を見ておられるならテンソルには添え字がついていますよね。
ｎ個の添え字がついているものをｎ階テンソルといいます。

スカラー、ベクトルなどもテンソルの１種です。
・スカラーは０階テンソル（添え字０個）
・ベクトルは１階テンソル（添え字１個）
・行列は２階テンソル（添え字２個）
といったふうです。

例えば、相対論では添え字はそれぞれ
０～３（１～４となっているかもしれませんが）までの値をとるので
スカラーは４^0＝１個
ベクトルは４^1＝４個
行列は４^2＝１６個
ｎ階テンソルは４^n個の成分を持ちます。

テンソルって何？とのことですが
数学的な定義等の難しいことは置いておくとして
実用的な面では何本もの方程式を一まとめに書ける便利なもの
と言うような認識で良いのでは。
ただし、物理ではあるテンソルの方程式があったとしても
独立な式がその方程式に出てくるテンソルの成分の
個数だけあるとは限らないので注意してください。

また、添え字の上付き下付きなどの違いは
例えばベクトルでは縦ベクトルと横ベクトルの違いになります。
反変、共変、縮約の計算などになれるまでは大変だと思いますが頑張ってください。

お礼

私の一番わからないツボをついたご説明ありがとうございます。思わずコピーしてしまいました。確かに複数の方程式が書けますよね。どうもありがとうございました。

回答No.2

ametsuchi

失礼しました。

先程の、「x.y.z成分毎にその行列が異なります」以下は、誤りですので、取り消します。

回答No.1

ametsuchi

このカテゴリには専門家が何人もおられ、私のようなシロートが発言するのには、やや躊躇があります。ですから、私が実際に仕事で使った経験があるものに限定します。

１）応力テンソル（構造解析などで使用）
２）曲率テンソル（曲面の微分幾何的取り扱いで使用）
３）パラメトリック３次曲面を表現するための行列

がそうです。私の理解に間違いがなければ、

■テンソルとは、成分がベクトルであるような行列である

いうことです。厳密な定義は違うかもしれないです。相対論に出てくるテンソルも「曲率テンソル」ではなかったかな？（自信なし、専門家の方のフォローお願いします！）

これでは、なんのことかさっぱり分からんでしょう。

上の中でも一番経験の長い、３）を例にとって説明します。

パラメトリック３次曲面では（0<=t<=1）なるパラメータに対して、曲面の位置ベクトル、接線ベクトル、曲率ベクトル、捩率ベクトルが一意に決るのですが、一番分かり易い「位置ベクトル」の話にしましょう。

パラメータ「ｔ」を任意に与えます。すると、x,y,zを一意に決めるには、ベクトル
（t^3、 t^2, t, 1）に対して、ある行列を掛けるのですが、x.y.z成分毎にその行列が異なります。ある一成分、たとえば、ｘ成分だけに着目すれば、行列の成分はスカラーです。より狭く言うと、実数値です。

しかし、x,y,z全部表わすのに、行列を３種類も用意するのは馬鹿げています。そこで行列の成分が、スカラーではなく、各々、x,y,z３成分あると考えると、行列は一つで済みます。

ただ、実際のプログラムでは、上で説明したテンソルの形とはまた違った格納方法になります。これと、先程の「（t^3、 t^2, t, 1）」なるベクトルを掛け合わせて実際の位置を求めています。

お礼

なるほど！親切なご説明どうもありがとうございます。テンソルは実際の仕事に使われるほど重要な概念なんですね。