テンソル積の定義と具体的な演算

質問

ベクトルには内積、外積、テンソル積（ディアド）があります。
(1,2), (-3,0)の内積、外積（３次元になるけど）はそれぞれ定義に沿って簡単に計算できます。テンソル積ではどうなるでしょうか。
テンソル積についてだけ、本を読んでも定義が述べられていないように感じます。テンソル積の性質とか成分の表現などは記述されていますが。テンソル積は２階までだったらマトリックスとして書けるけれども、高階だったら紙に正確に書けない（３階だったらキューブ、４階だったらもう無理）というようなことでしょうか。
ところで、この"定義"ですが、内積では、
A.B=AiBj(ei.ej)=AiBjδi,j=AiBi というのは定義とは言えないと思います。基底ベクトルの計算に内積が含まれているからですね。またこれが成立するのは直交座標系だけということになります。そういう意味でのテンソル積の"定義"を知りたいと思います。以前、テンソル積は難しいという意見がありました。しかし、難しい定義というのは存在せず、ややこしいとか、用語が難解で覚えにくいというのはあると思いますが。
また、○○積という言葉ですが、英語だとスカラー積、ベクトル積、テンソル積（これだけは日本語と英語が同じ？）ということで、その積の結果出力されるものの種類となっているということでよいでしょうか？

また、表記について、内積（ドット）、外積（×）ですが、テンソル積は○←×としたり、２つのベクトルをただ単につなげて表記する（記号なし）場合もあります。古い本ほど○←×になっているような気がしますが、最近は記号なしが主流なのでしょうか。

回答No.2

jmh

http://en.wikipedia.org/wiki/Dyadic_tensor には、"…, a dyadic tensor on V is an elementary tensor in the tensor product of V with its dual space." って書いてあるけど？

お礼

回答、有難うございました。
私も質問してからこれがあることに気づきました。このように実際に書き下してくれている本もあるようですが、私が見ている本は書いてありませんでした。

回答No.1

graphaffine

>ベクトルには内積、外積、テンソル積（ディアド）があります。
誤解を招く言い方です。もしかするとベクトル空間とその要素である
ベクトルの区別がついていないのでしょうか。
内積とは２つの同じベクトル空間の直積から係数体への（２次形式と呼ばれる）写像、
あるいはその写像により得られる係数体の要素であり、どちらにしても
ベクトルではありません。
テンソル積は２つ（以上）のベクトル空間から新たなベクトル空間を構成する手法、あるいは得られるベクトル空間のことでこれも単なるベクトルではありません。

ところで、ディアドと言う言葉は初めて見ました。インターネットで検索してもほとんどでてきません。お使いの本独自の用語かもしれません。
もしかすると、一つの本だけでなく他の本も読み比べると疑問の一端も
解消されるような気もします。

お礼

回答、ありがとうございます。

>ベクトルには内積、外積、テンソル積（ディアド）があります。
済みません。これは私の筆が滑っております。ベクトル＝内積みたいな文章ですが、そういう意味ではありません。
”ベクトルに対してそのような処理（演算とか写像、射影とかを含めて）が用意されている”という意味です.ディアドとはdyad, dyadic tensorという言葉がwikipediaにあるようです。