ベクトルの外積は3階のテンソルじゃないんですか？

質問

個人的には3階だと思うのですが，「外積　3階のテンソル」と検索にかけると2階と書かれたサイトが出てきて，3階という結果は出ません．

2つのベクトル(1階テンソル)に対して1つのベクトル(1階テンソル)を線形性をもって返すので3階のテンソルだと思うのですが…

2回のテンソルだとすれば，スカラーが返ってくるはずです．

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

3階ではありませんね．

2つのベクトルA=(a_i)，B=(b_i)の外積

C=A×B=(c_i)

は鏡像変換（座標の符号反転）に関して不変なので，正確にはベクトルではありません．このようなベクトルを軸性ベクトルといいます．これに対し普通のベクトルは極性ベクトルといいます．

外積は1階テンソルでもなければ何階なのか．それは2階です．しかも，2階反対称テンソルです．

2つの極性ベクトルAとBの外積C=(c_i)には，対応した反対称テンソルc_{ij}があって

c_{ij}=a_ib_j-a_jb_i

となります．c_iとの関係は

c_i=Σ_jΣ_k(1/2)e_{ijk}c_{jk}

となります．ここに

e_{ijk}=1(ijk→123が偶置換),-1(ijk→123が奇置換)

は3次元完全反対称3階擬テンソルです．

※軸性ベクトルの例は，回転座標系の角速度ベクトルωや磁場ベクトルBがあります．これらが軸性ベクトルであるのは

v=ω×ｒやF=ev×B(e：電荷）

において，位置ベクトルｒ，速度ベクトルｖ，力のベクトルFが普通のベクトル（極性ベクトル）であることからわかります．ωやBにはこれらの3つの成分からつくられる2階反対称テンソルが対応します．

補足

よくわからないです…ごめんなさい

u,v,wをベクトルとして

外積に対応するテンソルをF(u,v)=u×vとします．

これとwとの縮約をとると(Fijk)(uj)(vk)(wi)=(u×v)・w＝スカラーですし，Fはこのことからもまた添字の数からも3階のテンソルだと思うのです．

回答No.3

noname#165208

ハァ？ ですな。
言葉あそびをやってるという感じがする。

＞3階という結果は出ません．

そりゃ出ないでしょうｗ

もうちょっと線形代数を勉強しましょう。

ベクトルの外積は本来、反対称２階テンソルだが、空間が３次元ゆえ
ホッジ・スター ＊ により ３ － ２ ＝ １ 階の反対称テンソルつまりベクトルに
対応している。

＞2つのベクトル(1階テンソル)に対して1つのベクトル(1階テンソル)を線形性をもって返すので3階のテンソルだと思うのですが…

それがホッジ・スター ＊ ですよ。
体積要素で検索してごらん。

回答No.1

spring135

ベクトルの外積はベクトル、テンソル席は２階のテンソルです。