リーマンテンソルについて

質問

リーマンテンソルについて

『一般相対論入門』　須藤靖　著　P46 問題[2.10] をやっています。

１次元、２次元、３次元でのリーマンテンソル：R_αβγδを計量テンソルg_μνやリッチテンソルR_μνやスカラー曲率Rを用いて表わ問題なのですが、どうしても納得できない箇所があります。

１次元の場合はできました。

２次元の場合、答えには、

自由度は１となるから

R_αβγδ＝(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)f

という形になるはずであると答えには書かれているのですがなぜこのようになるのかわかりません。
対称性などからこの表式が成り立つのはわかるのですが、このように一意に表わせられるという保証はいったいどこから来たのでしょうか？？

どなたかお願いします。

回答No.2

breakfaster · ベストアンサー

No.1です。
あまり自信はありませんが首を突っ込んでしまったので回答してみます。

問題が、
>２次元のR_αβγδをg_μνとRを用いて表わせ。

ならば、リーマンテンソルが計量テンソルとスカラー曲率で表せることは前提にしていいのでしょうか。

前回の回答にかいたように、自由度が１ですから、
計量テンソルに関する微分方程式としてのリーマンテンソルを考えたとき、
リーマンテンソルと同じ対称性を持つテンソルT_αβγδとスカラーfを用いて
R_αβγδ = T_αβγδ f
と分解します。（これは一般的にできる）
自由度が１ですから、スカラーｆの部分に押し込めることができるはずで、T_αβγδを縮約したものは定数となるように分解できるはずです。
そして、T_αβγδが２回の縮約によって０でない定数になるためには２つの計量テンソルの積から作られなければならない。
そうすると、対称性も考慮すればTは
T_αβγδ = g_αγg_βδ-g_αδg_βγ
の１つしかありません。

こんな感じの回答でどうでしょうか。

回答No.1

breakfaster

残念ながら、その本はもっていないので、
完全な解答ではないことをあらかじめ断っておきます。

まず、２次元のリーマンテンソルは、その2^4=16個の要素のうち、
反対称性から１２個の要素が０になり、
R_1212=-R_1221=-R_2112=R_2121
のみが残って、実質自由度１になります。
なので、

＞R_αβγδ＝(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)f

これは上記以外で０になることは保証されますから、結局、
R_1212=(g_11 g_22 - g_12^2)f
が示されればよいわけですね。
ですが、これを計算しても、この形にできませんでした。
（）内は計量テンソルの行列式なわけですが、
一般にリーマンテンソルは、計量テンソルの（２階）微分を含むので、こうできるのかわかりません。
１自由度ということから、この微分による項は消えないとならないのか、など考えてみましたが、
まだ詰められていません。

このｆの部分は最終的にどうなるのか教えていただけるともう少し道筋をつけやすいと思うので、補足していただけると助かります。

補足

回答ありがとうございます！
以下、本通りの問題と解答です。

[問題]

２次元のR_αβγδをg_μνとRを用いて表わせ。

[解答]

n=2の時、自由度は１。したがって、

R_αβγδ＝(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)f

という形になるはず。このfの値は、

R=R^μ_μ=R^μα_μα=(g^μ_μg^α_α-g^μ_αg^α_μ)f
=(2×2-2)f=2f

よりf=R/2。よって

R_αβγδ＝1/2(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)R

と書かれています。