数Ｂ

質問

1の虚数立方根をα、βとしたとき、次の値を求める問題です。

(1)(β/α)＋(α/β）

(2)(α＾13)＋(β＾7)

X^3=1　より虚数立方根は(X^2+X+1)
α^3=1、β^3=1
はわかりました。

α＾２＝β，β＾２＝α
についてわかりません。
これはどこから、現れたのですか？
教えてください

回答No.4

kony0 · ベストアンサー

α＾２＝β，β＾２＝α
は、「１の虚数立方根の特徴」みたいなものです。

成り立つ理屈は、#1さんが計算で、#2さんが図形的に示してくれています。
ただ、きっと２人(#3さんも含めて３人）ともあらかじめこの「１の虚数立方根の特徴」をご存知のうえで回答されてると思います。
一度導出されたものを見て「ふ～ん」と言っておいて、“知識”として知っておくとよいでしょう。

逆に、α＾２＝β，β＾２＝αを満たす虚数（複素数から実数を除いた集合の要素）（α,β）の組は、「１の虚数立方根」以外にありえません。（これはど～でもえぇことですが）
２式からβを消去した式α^4=αを解いてみてください。

回答No.3

naozou

とくにα、βについては計算する必要ありません。

x^2+x+1 = 0 の解なので、解と係数の関係から
α+β=1, αβ=1 となります。

(1)
(α+β)^2 = α^2 + 2αβ + β^2 = 1 なので
α^2 + β^2 = -1
あとは(β/α)＋(α/β）= (α^2 + β^2)/αβ に代入してください。

(2)
３乗すると1になるので

(α＾13)＋(β＾7)
= α^3×α^3×α^3×α^3×α + β^3×β^3×β^3×β
= α + β

と変形すればOKです

回答No.2

fdfd200

α＾２＝β，β＾２＝αは、計算してみればそれが成り立つのがわかります。

ところで、極形式って知っていますか？
複素数って、ガウス平面（ｘｙ平面）であらわせると
思いますが通常は（ｘ、ｙ）という風にあらわせるが、
原点からの距離ｒと正の方向のｘ軸となす角θでも一意
に決まります。

ある複素数ｚ＝（ｒ、θ）であらわしたとすると、
z^2=(r^2、2θ）、一般的にz^n=(r^n、nθ）となるんです。

この考え方で１の３乗根をあらわすとz^3=1から、
z=(1、0度）、（1、120度）、（1、240度）となり、
0度でないのがαとβです。

それぞれ２乗すると
（１、2×120度）となりもう片方になり、
（１、2×240度）＝（1、480度）＝（１、360度+120度）
360度は0度と一緒だから（1、120度）となってもう片方
になります。

極形式は高校数学で習うと思います。

回答No.1

ymmasayan

x^2+x+1=0　から　虚数立方根はx=(-1±√3i)/2

これをα、βとして２乗してみればα^2=β　β^2=α　が出てきます。
ベクトルがわかるのであれば1の３乗根は１２０度づつずれたベクトルになります。
ベクトルの回転でも説明がつきます。