αとβを使った問題

質問

問題
1の虚数立方根をα、βとしたとき、次の値を求める問題です。

(1)(β/α)＋(α/β）

(2)(α＾13)＋(β＾7)

どのようにして求めるか全くわかりません。
答は(1)(2)とも-1です。

回答No.5

mikelucky · ベストアンサー

私は数学がにがてだったので、考えかたが追いやすいと思ったのですが...説明が不十分でしたね。ごめんなさい。

＞X^3=1　の解ですから？
問題には書いてないですよ

＞虚数立方根は(X^2+X+1)
の二つの解です。
はよくわからないです

＞α^3=1、β^3=1
はどこから理解できるのですか？

1の立方根というのは三乗して1になる数ですよね。
その数をＸとします。
だから　X^3=1　ですよね。

このＸはどんな数字か？
1はすぐに思いつきますよね。
残り二つの解が虚数立方根α、βなのです

具体的には三次方程式X^3=1を解きます。

X^3 -1=0
因数分解して
(X-1)(X^2+X+1)=0
X=1と　(X^2+X+1)=0この式の解がXだとわかるでしょう

(X^2+X+1)この式は判別式が負なので虚数解を持ちます。
これがまさに虚数立方根α、βとなります

最初に設定したとおりX^3=1　となるXは1,α,βなので

α^3=1、β^3=1　なのです。

また、α,βは(X^2+X+1)=0　という式を解いて出てきた値なので、

(α^2+α+1)=0　となり、変形してα^2=-(α+1)です

>どうして4乗するのですか？
α^12=1 なぜこうなるのですか？

(α＾13)が求めるもので、α^3=1がわかっています。

αを三回かけたのが1なら、αを12回かけたものは
α^3*α^3*α^3*α^3 ですよね(それを(α^3)^4と書いたのです)
α^3*α^3*α^3*α^3=1*1*1*1=1 ですね。

問題では(α＾13)ですからα^12*α=α となるわけです。

回答No.6

kony0

質問者さんに対してきつい言い方が続いているかと思いますが、嫌がらず聞いてくださいね。（いずれも#4さんが#5で解説されていることの補足にすぎません）

＞＞X^3=1　の解ですから？
＞問題には書いてないですよ

日本語⇔数式の双方向の翻訳をしっかり行う必要があります。きっちり問題に書いてありましたね。

＞＞虚数立方根は(X^2+X+1)
＞の二つの解です。
＞はよくわからないです

これは前段が理解できればわかると思われます。

＞＞α^3=1、β^3=1
＞はどこから理解できるのですか？

これは、前段が理解できることに加え、「方程式の解は、方程式に代入できること」の理解も必要です。すなわち、
「αは１の虚数立方根」⇒「αはx^3=1の（虚数）解」⇒「α^3=1」という流れです。
・はじめの矢印で「立方根」という日本語を式で表現し、
・次の矢印で「解」という日本語を式で表現している
ことになります。

＞>(α^3)^4=α^12=1 となります。（βも同様）
＞
＞どうして4乗するのですか？
＞α^12=1 なぜこうなるのですか？

ここは「次数下げ」という式の取扱に関するテクニックです。

・・・こうやってみると、「式の計算」という無味乾燥なものも、「言葉を言い換えて」「話の展開を作る」という、社会に出て必要不可欠な知恵の習得に一役買えるというものです。

質問者さんの「なぜ？」という疑問を抱く（抱ける）ことは、非常によいことと思います。ただし「話の展開を作る」に足るだけの数学的“知恵”が、質問時点ではじゅうぶんに備わっていなかった・・・だけと考えます。
ぜひ、単なる式の変形（の解答）を追いかけるだけでなく「なぜそういう式変形をしようとしているのか」という“知恵”を盗み出してください。

回答No.4

mikelucky

数学が苦手な私のやり方を書きます。

X^3=1　の解ですから

(X-1)(X^2+X+1)=0

で虚数立方根は(X^2+X+1)
の二つの解です。

αもβも　X^3=1　の解なので

α^3=1、β^3=1
よって

(α^3)^4=α^12=1 となります。（βも同様）

αもβも　(X^2+X+1)　の解なので

α^2+α+1=0 　α^2=-(α+1)　（βも同様）

これを使えばα、βについて1次式になります。

補足

＞X^3=1　の解ですから？
問題には書いてないですよ

＞虚数立方根は(X^2+X+1)
の二つの解です。
はよくわからないです

＞α^3=1、β^3=1
はどこから理解できるのですか？

>(α^3)^4=α^12=1 となります。（βも同様）

どうして4乗するのですか？
α^12=1 なぜこうなるのですか？

回答No.3

ymmasayan

>α^12=1　β^6=1
>　　はどこからでたのですか？

α、βは１の３乗根ですから３乗すれば１です。

回答No.2

noname#6715

1=cos(2π)+isin(2π)
よってその立方根は
α=cos2π/3 +isin2π/3
β=cos4π/3 +isin4π/3
(順不同)

これがわかればあとは計算できるはず

回答No.1

ymmasayan

ヒントのみ。
１．＝(β^2+α^2)/αβ＝(α+β)/αβ

２．α^12=1　β^6=1
　　つまり　α+β　を計算すればよい。

補足

α^12=1　β^6=1
　　はどこからでたのですか？