数学の問題について（高校生

質問

数学の問題について（高校生

こんにちわ。高校二年生です

明日　試験なのですが、数学で　全くわからないところがあります

それは、

１の３乗根のうち、虚数であるものの１つをωとするとき、次の式の値を求めよ。

という問題で、まず問題文から、全くわからない状態です。

解説では、ω３＝１　ω２+ω+１＝０　を利用すると　書いているのですが、

どのように考えれば、ω３＝１、ω２＋ω＋１＝０に辿りつくのかわかりません。

詳しく教えてください。

例として、

ω４＋ω２＋１　

を教えてください

ωの右隣にある、大きい数字は乗数のことです。見にくくてすいません。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

そもそも、ω は 1 の三乗根なのだから、方程式 x^3 = 1 の解です。
すなわち、ω^3 = 1。

方程式を x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 と変形すれば、
x = ω は、x^2 + x + 1 = 0 の解だと判ります。
x = 1 は、虚数解じゃないですからね。
　　x^3 - 1 の因数分解は、
　　x = 1 のとき x^3 - 1 = 0 となることに気づけば、
　　x^3 - 1 を x - 1 で割ってみることで導けます。
よって、ω^2 + ω + 1 = 0。

以上を使って、
ω^4 + ω^2 + 1 = (ω^3)ω + ω^2 + 1 = ω + ω^2 + 1 = 0。

回答No.1

tomokoich

1の３乗根ということで
ω^3=1より
ω^3-1=0
になります
ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)=0なので
ω=1,ω^2+ω+1=0になります
ω^2+ω+1=0は
ω=(-1±√3i)/2になり（虚数立方根）
1つをωとするともうひとつはω^2になります
よって1の立方根は1,ω,ω^2になります

ω^4+ω^2+1
=(ω^2)^2+2ω^2+1-ω^2
=(ω^2+1)^2-ω^2
=(ω^2+ω+1)(ω^2-ω+1)
ここでω^2+ω+1=0より
上の式は0になります