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解と係数の関係(高校数学)

二次方程式の解と係数の関係のところで疑問がありました。 以下設問です。 2X^2-3X+5=0の二つの解をα、βとするとき、次の値を求めなさい。 (1)α^2+β^2 (2)(α-β)^2 という問題があったんですが 解き方はわかるのですが そもそも判別式D=-31になって解無しになるんじゃないですか? この場合α、βは虚数って事ですか? けどそうなるとα+βも虚数になるからおかしいですよね・・ 大きな勘違いをしてるんでしょうか? よろしくお願いします。

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  • rnakamra
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回答No.1

判別式D<0 ですから、この2次方程式は異なる二つの複素数(非実数)解を持ちます。 この場合でも解と係数の関係は成り立ちます。 複素数解の場合でも和・積が実数になることを示しておきましょう。 実数係数の2次方程式は、複素数解を持つときは必ず a+bi,a-bi(a,bは実数) という形の解を持ちます。(これは解の公式からも簡単に確認できます。) このような二つの複素数を"複素共役"と呼びます。 この二つの和、積をとりますと (a+bi)+(a-bi)=2a (a+bi)(a-bi)=a^2-b^2*i^2=a^2-b^2*(-1)=a^2+b^2 となり、両方とも実数になります。

martin_
質問者

お礼

早速回答いただきありがとうございます! すっきりしました。

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その他の回答 (1)

  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)
回答No.2

α,βが複素数のとき、α+βも複素数になるとは限りません。 例えばα=1+i,β=1-iのとき   α+β = 2 と、実数になります。 このように、αとβが共役な複素数の場合、α+βは実数になるのです。 一般に係数が全て実数の2次方程式が虚数解α,βを持つとしたら、α,βは互いに共役になります。 今回の場合も、解の公式を使ってα,βを実際に求めてからα+βを計算してみるとよいでしょう。 この程度の疑問なら、自分で実際に計算してみる方が人に聞くより早いですよ。

martin_
質問者

お礼

早速の回答ありがとうございました。 助かりました。

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