2次方程式と複素数の問題

質問

pを実数とし、2次方程式x^2+px+p=0の一つの解をαとする。α^2が純虚数となるとき、pの値を求めよ。また、αは実数でなくα^3が実数となるときpの値を求めよ。

α^2が純虚数になるときのpの値2は出せました。
次のαは実数でなくα^3が実数となるときpの値がうまく出せません。答えは１です。よろしくお願いします。

回答No.4

take_5

別解を示めそう。

αが虚数であるから、α＝a＋b*i（iは虚数単位）とすると、実数係数の2次方程式では、その共役な複素数も解である。
したがって、その解をβとすると、β＝a-b*iとなるから、解と係数の関係から、α＋β＝2a＝-p、αβ＝a＾2＋b＾2＝p　‥‥(1)
そこで、α^3＝（a＋b*i）＾3＝a（a＾2-3b＾2）＋b（3a＾2-b＾2）iであり、α^3が実数となるから、b（3a＾2-b＾2）＝0.
当然b≠0から、3a＾2-b＾2＝0.
3a＾2-b＾2＝（2a）＾2－（a＾2＋b＾2）＝（-p）＾2-p＝p（p-1）＝0.
p≠0であるから、p-1＝0.

回答No.3

take_5

こんなのは次数を下げると良い。

αが、2次方程式：x^2+px+p＝0の一つの解から、α^2+pα+p＝0。
よって、α^2＝-pα-p　‥‥(1)　(1)*αを作ると、α^3＝（-p）*（α^2）-（-p）*（α）＝（-p）*（-pα-p）-（p）*（α）＝（p＾2-p）α＋p＾2。‥‥(2)
αが虚数で、(2)が実数になるから、p＾2-p＝0.　当然p≠0から、p＝1.

回答No.2

springside

こんな感じ。

a^2+pa+p=0だから、a^2=-pa-p

よって、
a^3=a・a^2
=a(-pa-p)
=-pa^2-ap
=-p(-pa-p)-ap
=(p^2-p)a+p^2
となる。

pは実数で、aは実数ではないから、これが実数になるためには、
p^2-pが0であることが必要。
つまり、p=0又は1

p=0のとき、a=0となり、aが実数になるから不適。
p=1のとき、a=(-1±√(-3))/2となり、aは実数ではないから適。

回答No.1

kabaokaba

α^2の問題をどうやって解いたかで，解法が大分かわるんだが・・・

とりあえずシンプルにいく
α^3が実数で，αが実数ではないならば
αの偏角は120度か60度としてよい
したがって，rを実数として
α=r(1+√3 i)/2, r(-1+√3 i)/2
一方，pが実数であることから
αがx^2+px+p=0の解であるなら，その共役α^-2も解
したがって
α+α^- = -p
αα^- = p
α=r(1+√3 i)/2とすると r=-p, r^2=p
α=r(-1+√3 i)/2とすると r=p, r^2=p
pは０ではないので，p=1