数学の問題なのですが・・・

質問

代数を勉強しているのですが、わからない問題が出てきた
ので、どなたか以下の問題を解いて頂けませんでしょうか。
よろしくおねがいします。

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虚数単位を i 、１の虚数立方根をwで表し、

Ｇ＝｜ i^m　 x ｜
　　｜ 0　 w^n ｜　m,n∈Ｚ かつ x∈Ｃ

Ｌ＝｜ １　 x ｜
　　｜ ０　１ ｜　 x∈Ｃ　　　　　　　　　とおく。

（問１）ＬはＧの正規部分群であるか？（理由も含めて答えよ）

（問２）ＧのＬによる右分解を求めよ。

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以上です。なかなか進めなくて困っています。
問１・問２のどちらか一方でも良いので、
よろしくお願いします m(_ _)m

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

Mizugameさんこんばんは。
（１）
Ｇが群になっていること、およびＬがＧの部分群であることは理解していますか。また正規部分群の定義は大丈夫ですか。念のため書いておくとＬがＧの正規部分群であるとは
(A)ＬがＧの部分群であり
(B)任意のg∈Ｇに対して Ｌ＝g^{-1}Ｌg ………(1)
となることです。この等号は集合として等しいと言う意味です。集合の要素の形で丁寧に書けば
Ｌ＝｛g^{-1}lg：l∈Ｌ｝
がすべてのg∈Ｇに対してなりたつ。と言う意味です。
だから正規部分群であるか否かを調べるには任意のg∈Ｇに対して(1)が成り立つか否かを調べれば良いのです
今任意のg∈Ｇを一つ選び

g ＝｜ i^m　x_g ｜
　　｜ 0　 w^n ｜

としましょう。すると

g^{-1}　＝｜ i^{3m}　-i^{3m} w^{2n} x_g ｜
　　　　　　｜ 0　　　　　　　　　 w^{2n}　　　｜

となります。任意の
l＝｜ 1　z ｜
　 ｜ 0　1 ｜∈Ｌ
に対してg^{-1}lgはどんな形の行列になるでしょうか。計算すればすぐわかりますが

g^{-1}lg ＝｜ 1　* ｜
　　　　　　 ｜ 0　1 ｜

と言う形の行列になります（*＝i^{3m}(x_g + x w^n - w^{2n}x_g) ）
従って Ｌ ⊃ g^{-1}Ｌg であることがわかりました。

今度は逆向きの包含関係を調べます。任意のl∈Ｌとg∈Ｇに対してl＝g^{-1}l'g となるようなl'∈Ｌが存在することを言えればＯＫです。
11,21,22成分についてはすでに見たようにＯＫですから問題は12成分だけですね。
12成分については任意の複素数zとx_gに対しz＝i^{3m}(x_g + x w^n - w^{2n}x_g) となるような複素数xがとれることを言えればＯＫですが、これは明らかですね。よってＬはＧの正規部分群です。　　　■

（２）
Ｌによる右分解と言うのは要するにＧの要素にＬの要素を右からかけたものの集合ＧＬをクラスわけすることです。Ｇはそれらのクラスの和集合として表現されます。それが分解と言うことです。
任意の
g ＝｜ i^m　x_g ｜
　　｜ 0　 w^n 　｜∈Ｇ
と
l＝｜ 1　z ｜
　 ｜ 0　1 ｜∈Ｌ
に対してglを計算すると

gl ＝｜ i^m　C ｜
　　｜ 0　 w^n ｜∈Ｇ
となります。ここでCは任意の複素数です（任意の複素数Cとg∈Ｇに対してglの12成分がCになるようなlが存在することはわかりますね）つまりＧＬは11成分がi^m,12成分が任意の複素数,21成分が0,22成分がw^nという形の行列になります。
そこでこのような形の行列で本質的に異なっているものは何種類あるかを考えます。
11成分について言えばi^m ＝i^{m+4} . 22成分はw^n ＝w^{n+3} ですから、11成分が本質的に異なるのは４種類。22成分については３種類です。従って11成分と44成分の組み合わせにより４×３＝１２種類に類別できることがわかります。集合の形で書けば

Ｇ＝∪_{(m,n)∈Ｚ_4 × Ｚ_3} ｛｜ i^m　 C ｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜ 0　 w^n ｜ C∈Ｃ ｝

となります　　　（Ｚ_4とは整数のmod４による同値類。Ｚ_3も同様）
（奇麗に書けませんが(m,n)をＺ_4 × Ｚ_3のすべてに渡って動かした時の集合和と言う意味です。）
なお、正規部分群による分解は左右を区別する必要はありません。この問題の場合も左分解と右分解が全く同じになることを確かめてみて下さい。　　■

ついでに言えばこの問題での11成分iは虚数単位というよりむしろ１の４乗根と考えた方が本質的です。
p,qを（１でない）任意の自然数とし、１のp乗根、q乗根をそれぞれu,vとし（ただしu,vは１でない根とする）

Ｇ＝｜ u^m　 x ｜
　　｜ 0　 v^n ｜　m,n∈Ｚ かつ x∈Ｃ

として同様の（Ｌは同じ）問題を考えてみて下さい。p,qが互いに素である場合とそうでない場合とでなにか違いがあるでしょうか？

お礼

oodaikoさんこんにちは。
お返事ありがとうございました。
正規部分群の定義を、どのように使っていけばいいのかが
わからなかったのですが、oodaikoさんの解説で理解でき
ました。
本当にありがとうございました！！！