高２の数学の問題です

質問

問）１の３乗根のうち、虚数であるものの１つをωとするとき、次の式の値を求めよ。

(1) 1+ω+ω^2+・・・+ω^9

(2) 1+ω+ω^2+・・・+ω^n (nは自然数)

1+ω+ω^2=0とω^3=1を使えばいいのかなと考えたのですが、やはりどういう風に解けばいいのかわかりません。
解き方を教えてください。
ぜひよろしくお願いします。

回答No.5

Mr_Holland · ベストアンサー

質問者さんがお考えになったように、
＞1+ω+ω^2=0とω^3=1
を使ったほうが数列を使うより簡単になると思います。

（１）
　　 1+ω+ω^2+・・・+ω^9
　＝(1+ω+ω^2)+ω^3(1+ω+ω^2)+ω^6(1+ω+ω^2)+ω^9
　＝０＋１×０＋１×０＋１
　＝？

（２）
ｎ＝３ｍのときは、（１）と同様に考えて
　　 1+ω+ω^2+・・・+ω^n (nは自然数)
　＝(1+ω+ω^2)+ω^3(1+ω+ω^2)+…＋ω^{3(m-1)} (1+ω+ω^2)+ω^(3m)
　＝？

ｎ＝３ｍ＋１のときは、上記ｎ＝３ｍのときを参考にして、
　　1+ω+ω^2+・・・+ω^n (nは自然数)
　＝(1+ω+ω^2)+ω^3(1+ω+ω^2)+…＋ω^{3(m-1)} (1+ω+ω^2)+ω^(3m)＋ω^(3m+1)
　＝１＋ω

ｎ＝３ｍ＋２のときは、上記ｎ＝３ｍ＋１のときを参考にして、
　　1+ω+ω^2+・・・+ω^n (nは自然数)
　＝(1+ω+ω^2)+ω^3(1+ω+ω^2)+…＋ω^{3(m-1)} (1+ω+ω^2)+ω^(3m)(1+ω+ω^2)
　＝？

となりますので、ｎを３で割った余りによって、答えを分類するとよいと思います。

回答No.4

banakona

これって等比級数ですよね。等比級数といえば・・・

回答No.3

info22

ヒント）
(1)
1-x^10=(1-x)*(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)
なので、この式でx=ωとおけばω^9=1より
1+ω+ω^2+・・・+ω^9=(1-ω^10)/(1-ω)=(1-ω)/(1-ω)=？
↑分かりますね。

(2)
1-x^(n+1)=(1-x)(1+x+x^2+x^3+ ... +x^n)
この式でx=ωとおけば
1+ω+ω^2+・・・+ω^n={1-ω^(n+1)}/(1-ω)
なので
n+1=3m-1
n+1=3m
n+1=3m+1
で場合分けして見てください(nが自然数ならmも自然数)。
そしてω^(3m)=1とおけばそれぞれ
(1-ω^2)/(1-ω)
(1-1)/(1-ω)
(1-ω)/(1-ω)
となります。

あとは出来ますね。

回答No.2

bgm38489

三項ごとに区切って考えれば？
ωの０乗（＝１）、ωの１乗、ωの２乗
ωの３条（＝１）、ωの４乗（＝ωの１乗）、ωの５乗（＝ωの２乗）…
(2)はｎ＝３ｍ、３ｍー１、３ｍー２の条で変わるね

回答No.1

owata-www

１＋ω＋ω^2＋ω^3＋ω^4＋ω^5＋…
＝１＋１＋ω＋ω^2＋ω^3（＝１）＋ω^3*ω（＝１*ω）＋ω^3*ω^2（１*ω^2）＋…

と考えればわかるかと