おなじく虚数

質問

なんどもごめんなさい
もう一門おしえてください
１の虚数立方根をα、βとしたとき、次の値を求める

▲　β／α＋α／β

▲　α＾13＋β＾7

回答No.4

Tofu-Yo

複素数平面はわかりますか？
｜α｜=｜β｜=1で、
augα=120°、augβ=240°（またはその逆）
なので、｜αβ｜=1、augαβ≡120°+240°≡0°
したがってαβ=1
同じようにα^2=β、β^2=α
以上を踏まえると、

１問目　=（α^2＋β^2）/αβ=α+β
２問目　=(α＾3)^4×α+(β＾3)^2×β=α+β

と、どちらもα+βです。あとはこれを複素数平面上でひし形書いて求めましょう。

回答No.3

liar_adan

α^3 = 1 より
α^13 = α^10 = α^7 = ……

回答No.2

Mell-Lily

x^3=1
　∴ x^3-1=0
　∴ (x-1)(x^2+x+1)=0
したがって、α,βは、
　x^2+x+1=0
の二つの解であるから、解と係数の関係より、
　α+β=-1
　αβ=1.
よって、
　β/α+α/β
　=(α^2+β^2)/αβ
　={(α+β)^2-2αβ}/αβ
　={(-1)^2-2・1}/1
　=-1. …(Ans.)
また、
　α^13+β^7
　={(α^3)^4}・α+{(β^3)^2}・β
　=α+β
　=-1. …(Ans.)

回答No.1

mmky

参考程度に
１の虚数立方根をα、β がわかれば解けるね。
x＾3=1, x＾3-1=0, (x-1)(x＾2+x+1)=0
(x＾2+x+1)=(x-α)(x-β）
x=(1/2){-1±√3i}
α=(1/2){-1+√3i}, β=(1/2){-1-√3i},

α＾13＋β＾7　は極座標に直すやり方でとけるね。