数学II複素数についての質問です

質問

x(2)+2ax+a+2の解が純虚数になるときのaの値を求めよと言う問題があります。
　単に複素数を求めるだけならできるのですが、純虚数になる条件がわかりません。皆様の知恵を拝借願いたいと思います。

回答No.9

noname#24477

x(2)+2ax+a+2=0
から
2a＝０，ａ＋２＞０
というだけだと思いますが、解答の不等号の向き
違っていませんか？

補足

なにぶんちょっと見せてもらったので反対かもしれません。
根本的な質問になりますが、2a=0,a+2>0(<0?)が
なぜx(2)+2ax+a+2=0から導けるのですか？

回答No.8

springside

No.7です。

>>特別何か条件を満たすことを記述する必要がありますか？

特にないと思います（aは実数だろうが虚数だろうが、解の公式は有効ですし。）

（なお、この解き方は、「必要性で解の候補を絞り、各候補毎に、それで大丈夫かどうかという十分性を確認する」という、よく使う解答ロジックです。）

お礼

なるほど勉強になりました。
よく使う解答論理なんですね。覚えておきたいと思います。

回答No.7

springside

なにやら難しく考えていらっしゃるようですが、以下のようにやればいいのでは。

解の公式を使うと、

x=-a±√(a^2-a-2)

となるから、xが純虚数になるためには、-a=0が必要。
このとき、x=±√(-2)=±2iとなるので、xが純虚数という条件は満たされ、a=0は適する。

よって、答えは、a=0

補足

なるほどこういう考え方もありですね。
この問題最終的にはxの値も求めるのですが、
この答えからすぐに導けますよね。
下述の条件を使うとなにやら、a=0を元の式に代入して
やっていたのですがね…
答案への書き方も
　x=-a±√(a^2-a-2)

となるから、xが純虚数になるためには、-a=0が必要。
このとき、x=±√(-2)=±2iとなるので、xが純虚数という条件は満たされ、a=0は適する。

よって、答えは、a=0

　とすればよいのですよね。特別何か条件を満たすことを記述する必要がありますか？

回答No.6

mister_moonlight

＞aが実数と言うのはa>0が問題条件としてあればいいのでしょうか？

違います。
aが虚数ではないということであって、aが正ということとは全く無関係です。
aが正、0、負にかかわらず実数であれば良いということです。

実数の意味が分からなければ、教科書を復習してください。
基本事項です。

補足

そういうことですね。
もう一度教科書を見てみます。
純虚数の問題はなかなかでてこないのですが、今回のように急に出てきても対処するためにはどうしたらよいのでしょうか？
　問題文などでは純虚数と言う条件をいろいろ変化させて
新たに問題が作れるそうなのですが…

回答No.5

endlessriver

しかし解答集は
2a=0
a+2<0
が条件だったのですがこれはどういうことなのでしょうか

わたしも謎です。２つをまとめれば　２＜０　です。ってほんとかぁぁ　って思うでしょ。（違ったか？）(^◇^)ノ

補足

普通にやると

条件に矛盾はないんですが。どこから導き出されたのか…

回答No.4

mister_moonlight

書いてませんが、当然aは実数と思います。

実数係数の2次方程式が、m＋ni(iは虚数単位、mとnは実数)を解にもつなら、その共役な複素数m-niも解に持つ。

この問題では、解が純虚数ですから、2つの解は　niと－niです。但し、n≠0‥‥‥(1)
解と係数の関係から、ni＋(－ni)＝0＝-2a‥‥‥(2)、(ni)(－ni)＝n＾2＝a+2＞0‥‥(3)　((1)より、n≠0)

以上(2)と(3)から、a＝0。

補足

aが実数と言うのはa>0が問題条件としてあればいいのでしょうか？

回答No.3

noname#14584

純虚数というのは実部0の複素数のことです．
x^2+2ax+a+2=0を解いて，
x=(-2a±√(4(a^2)-(4a+8)))/2
となりますね．
この時チェックするべきことは，
ルートの中身が負であることと，
その他が0であることです．

補足

ありがとうございます。
解の公式を使ってとくんですよね。

しかし解答集は
2a=0
a+2<0
が条件だったのですがこれはどういうことなのでしょうか
？

回答No.2

tatsumi01

純虚数とは実数部が０である複素数です。
複素根が求められるなら、後は解説不要でしょう。

補足

2a=0
a+2<0

が条件として載っていました。

複素根とは解のことですよね？

回答No.1

graduate_student

「aの値を求めよ」ですか？
「aの値の範囲を求めよ」ではなくて？

もし，後者であれば，判別式<0を示せばいいです．

補足

そうです。マーク式の問題集で
a=□になっています。

解答集を見せてもらったのですが
条件が二つ書いてあり、これが混乱の原因になっています。