数学Ｂの問題の答えを教えてください。

質問

１、∠Ｃが鈍角である△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝５ｋ、ＢＣ＝√１０ｋ、ＣＡ＝３ｋ（ｋ＞０）とする。また、△ＡＢＣの面積は１８である。
（１）cosＡの値を求めよ。
（２）ｋの値を求めよ。また、sinB,sinCの値をそれぞれ求めよ。
（３）辺ＢＣ（両端を除く）上の点Ｐから直線ＡＢ、ＡＣにそれぞれ垂線ＰＤ、ＰＥを引く、△ＰＤＥの面積が9/10であるとき、線分ＢＰの長さを求めよ。

２、ｘの三次式Ｐ（ｘ）＝x^3-(a-1)x^2+3(a-2)x-2aがある。ただし、aは実数の定数とする。
（１）Ｐ（ｘ）をｘ－２で割った商を求めよ。
（２）方程式Ｐ（ｘ）＝０の一つの解が1+2iである時、aの値を求めよ。ただし、iは虚数単位とする。
（３）方程式Ｐ（ｘ）＝０が虚数解をもつとする。このとき、Ｐ（ｘ）＝０の三つの解の平方の和が６であるようなaの値を求めよ。

回答No.7

yyssaa

（１）cosＡの値を求めよ。
余弦定理より
(k√10)^2=(5k)^2+(3k)^2-2(5k)(3k)cosA
これを解いてcosA=4/5・・・答え
（２）ｋの値を求めよ。また、sinB,sinCの値をそれぞれ求めよ。
sinA＞0、sinA=√{1-cos^2(A)}=√(1-16/25)=√(9/25)=(3/5)
△ABCの面積=(1/2)(3k)(5k)sinA=(15/2)(3/5)k^2=(9/2)k^2=18
これを解いてk＞0よりk=√4=2・・・答え
正弦定理より6/sinB=10/sinC=(2√10)/sinA=(2√10)(5/3)
=(10√10)/3。よって、
sinB=6/{(10/3)√10}=(9√10)/50・・・答え
sinC=10/{(10/3)√10}=(3√10)/10・・・答え
（３）辺ＢＣ（両端を除く）上の点Ｐから直線ＡＢ、ＡＣにそれぞれ垂線ＰＤ、ＰＥを引く、△ＰＤＥの面積が9/10であるとき、線分ＢＰの長さを求めよ。
DPの延長線と辺ACの延長線の交点をQとし、簡単のため、BP=x,
PC=y(x+y=BC=2√10)、PQ=s,EQ=tとおくと、PD=xsinB=(9x√10)/50,
PE=ysin(π-∠C)=(3y√10)/10,s^2=t^2+PE^2が成り立つ(三平方の
定理)。又、△PQE∽△ADQから、t/s=DQ/AQ=sinA=3/5,すなわち
5t=3sが成り立つ。これらの式からsをxで表すと、
s=(60-3x√10)/8となる。
ここで△PDEの面積/△PQEの面積=PD/PQ=PD/sから
△PDEの面積=△PQEの面積*{(9x√10)/50}/{(60-3x√10)/8}。
t=3s/5=(180-9x√10)/40から
△PQEの面積=(1/2)t*PE={(180-9x√10)/80}(2√10-x)(3√10)/10
よって△PDEの面積
={(180-9x√10)/80}{(2√10-x)(3√10)/10}{(9x√10)/50}
*{8/(60-3x√10)}={(2√10-x)81x}/500
=9/10とおいて{(2√10-x)9x}=50から9x^2-(18√10)x+50=0を解いて
x={18√10±√(3240-4*9*50)}/18=(18√10±12√10)/18
=(3√10±2√10)/3
よって線分ＢＰの長さは、(5√10)/3又は(√10)/3・・・答え

２、ｘの三次式Ｐ（ｘ）＝x^3-(a-1)x^2+3(a-2)x-2aがある。ただし、aは実数の定数とする。
（１）Ｐ（ｘ）をｘ－２で割った商を求めよ。
P(x)=x^3-(a-1)x^2+3(a-2)x-2a=(x-2)(x^2+Bx+C)
=x^3+(B-2)x^2+(C-2B)x-2C,B-2=1-aからB=3-a,-2C=-2aからC=a
よって、商=x^2+(3-a)x+a・・・答え
（２）方程式Ｐ（ｘ）＝０の一つの解が1+2iである時、aの値を求めよ。ただし、iは虚数単位とする。
P(1+2i)=(1+2i-2){(1+2i)^2+(3-a)(1+2i)+a}=-20+4a-10i+2ai=0から
a=(10+5i)/(2+i)=(2+i)(2-i)=4+1=5・・・答え
（３）方程式Ｐ（ｘ）＝０が虚数解をもつとする。このとき、Ｐ（ｘ）＝０の三つの解の平方の和が６であるようなaの値を求めよ。
（１）x^2+(3-a)x+a=0の解はx={a-3±√(a^2-6a+9-4a)}/2
={a-3±√(a-1)(a-9)}/2、これが虚数解である条件は1＜a＜9・・・(ア)
[{a-3±√(a-1)(a-9)}/2]^2={a^2-8a+9±(a-3)√(a-1)(a-9)}/2
三つの解の平方の和が６から
{a^2-8a+9+(a-3)√(a-1)(a-9)}/2+{a^2-8a+9-(a-3)√(a-1)(a-9)}/2
+4=a^2-8a+13=6よりa^2-8a+7=0,(a-1)(a-7)=0からa=1,a=7
(ア)の条件に照らしてa=7・・・答え

回答No.6

ferien

ANo.5です。少し訂正です。

＞△ＢＰＤで、ＰＤ＝ＢＰsinＢ，△ＣＰＥで、ＰＥ＝ＣＰsin（π－Ｃ）＝ＣＰsinＣより
でお願いします。

回答No.5

ferien

＞１、∠Ｃが鈍角である△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝５ｋ、ＢＣ＝√１０ｋ、ＣＡ＝３ｋ（ｋ＞０）とする。
＞また、△ＡＢＣの面積は１８である。
＞（１）cosＡの値を求めよ。
cosＡ＝４／５より、sinＡ＝３／５
＞（２）ｋの値を求めよ。また、sinB,sinCの値をそれぞれ求めよ。
ｋ＝２，sinＢ＝９／５√１０，sinＣ＝３／√１０

＞（３）辺ＢＣ（両端を除く）上の点Ｐから直線ＡＢ、ＡＣにそれぞれ垂線ＰＤ、ＰＥを引く、
＞△ＰＤＥの面積が9/10であるとき、線分ＢＰの長さを求めよ。
３辺が分かっているので、図をできるだけ正確に描いて下さい。
ＢＰ＝ｘとおくと、ＣＰ＝２√１０－ｘ
△ＢＰＤで、ＰＤ＝ＢＰsinＢ，△ＣＰＥで、ＰＥ＝ＣＰsinＣより、
ＰＤ＝ｘ×（９／５√１０）＝９ｘ／５√１０
ＰＥ＝（２√１０－ｘ）×（３／√１０）
四角形ＡＤＰＥについて、∠ＡＤＰ＝∠ＡＥＰ＝９０度だから、
∠ＤＰＥ＝１８０－∠Ａ＝π－∠Ａより、sin∠ＤＰＥ＝sin（π－Ａ）＝sinＡ
△ＰＤＥ＝(1/2)×ＰＤ×ＰＥ×sin∠ＤＰＥ
＝(1/2)×（９ｘ／５√１０）×｛（２√１０－ｘ）×（３／√１０）×（３／５）
＝９／１０　だから、
ｘ（２√１０－ｘ）＝５０／９
９ｘ^2－１８√１０ｘ＋５０＝０
（３ｘ－５√１０）（３ｘ－√１０）＝０
よって、ｘ＝５√１０／３，√１０／３　（どちらも０＜ｘ＜２√１０）

＞２、ｘの三次式Ｐ（ｘ）＝x^3-(a-1)x^2+3(a-2)x-2aがある。ただし、aは実数の定数とする。
＞（１）Ｐ（ｘ）をｘ－２で割った商を求めよ。
割り算すると、商は、ｘ^2＋（－ａ＋３）ｘ＋ａ
＞（２）方程式Ｐ（ｘ）＝０の一つの解が1+2iである時、aの値を求めよ。ただし、iは虚数単位とする。
ｘ＝1+2iを代入して、実部と虚部に分けて、＝０とおいて計算すると、ａ＝５

＞（３）方程式Ｐ（ｘ）＝０が虚数解をもつとする。このとき、Ｐ（ｘ）＝０の三つの解の平方の和が
＞６であるようなaの値を求めよ。
３つの解をＡ，Ｂ，Ｃとすると、３次方程式の解と係数の関係より、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ａ－１，ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＝３（ａ－２），ＡＢＣ＝２ａ
また条件より、Ａ^2＋Ｂ^2＋Ｃ^2＝６
公式（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）^2＝ａ^2＋Ｂ^2＋Ｃ^2＋２（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）より、
（ａ－１）^2＝６＋２×３（ａ－２）
ａ^2－８ａ＋７＝０
（ａ－７）（ａ－１）＝０だから、
ａ＝１，７，　ａ＝１のときは、実数解（１つの解と重解）をもつから
よって、ａ＝７

計算を確認して下さい。

回答No.4

asuncion

途中で計算を間違えているかもしれませんので、適宜見直してください。

回答No.3

asuncion

設問１
(2)の続き
∠BがCAの、∠CがABの、それぞれ対角であるとして、余弦定理より、
9k^2=25k^2+10k^2-10√10・k^2・cosB
10√10・k^2cosB=26k^2
cosB=26/(10√10)=26√10/100=13√10/50
(sinB)^2=1-(1690/2500)=810/2500
0<B<π/2より、sinB>0
∴sinB=9√10/50

25k^2=10k^2+9k^2-6√10k^2・cosC
6√10k^2・cosC=-6k^2
cosC=-1/√10
(sinC)^2=1-(1/10)=9/10
π/2<C<πより、sinC>0
∴sinC=3√10/10

設問１
(3)△ABCにおいて、点Aを原点としても題意を失わない。
このとき、(sinA)^2=1-(16/25)=9/25, π/2<A<πより、sinA=3/5
辺ABの方程式：y=tanA・x=3x/4
辺BCの方程式：y=tan(π-C)・(x-6)=3x-18
BC上の点Pの座標を(a,3a-18)とおく(a>6)と、
PDの傾き=-4/3より、PDの方程式はy-(3a-18)=-4/3(x-a)
y=-4x/3+(13a-54)/3
点Dのx座標は、3x/4=-4x/3+(13a-54)/3より、x=12{(13a-54)/3}/25=(52a-216)/25
点Dのy座標は、(39a-162)/25
点D((52a-216)/25,(39a-162)/25)
また、点E(a,0)
ここで、△PDEの面積を求める際、点Eが原点に来るよう平行移動して△P'D'E'としても題意を失わない。
このとき、
P'(0,3a-18)
D'((27a-216)/25, (39a-162)/25)
E'(0,0)
よって、
△PDEの面積=△P'D'E'の面積
=|(3a-18)(27a-216)/25|/2
=3・27(a-6)(a-8)/50
=81(a-6)(a-8)/50=9/10より、
9(a-6)(a-8)=5
9a^2-126a+427=0
a={63±√(3969-3843)}/9=(63±√126)/9=(63±3√14)/9=(21±√14)/3
a>6より、a=(21+√14)/3
∴点P((21+√14)/3,3+√14)
また、点Bのx座標は、3x/4=3x-18より、x=8
点Bのy座標は、6
点B(8,6)
線分BPの長さは、計算してください。ふ～。

回答No.2

asuncion

設問１
(2)の続き
∠BがCAの、∠CがABの、それぞれ対角であるとして、余弦定理より、
9k^2=25k^2+10k^2-10√10・k^2・cosB
10√10・k^2cosB=26k^2
cosB=26/(10√10)=26√10/100=13√10/50
(sinB)^2=1-(1690/2500)=810/2500
0<B<π/2より、sinB>0
∴sinB=9√10/50

25k^2=10k^2+9k^2-6√10k^2・cosC
6√10k^2・cosC=-6k^2
cosC=-1/√10
(sinC)^2=1-(1/10)=9/10
π/2<C<πより、sinC>0
∴sinC=3√10/10

回答No.1

asuncion

設問１
(1)∠Aというのが辺BCの対角のことであるとして…。
余弦定理より、
10k^2=25k^2+9k^2-2・5k・3k・cosA=34k^2-30k^2・cosA
30k^2・cosA=24k^2
∴cosA=4/5

(2)s=(AB+BC+CA)/2=(8+√10)k/2とおくと、ヘロンの公式より、
18^2={(8+√10)k/2}{(-2+√10)k/2}{(8-√10)k/2}{(2+√10)k/2}
324=(64-10)(10-4)k^4/16
324=54・6k^4/16
k^4-16=0
(k^2+4)(k^2-4)=0
k>0より、k=2

とりあえずここまで。