テーラー展開とランダウの記号

質問

x→0のとき
　(1+x)^x=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+o(x^3)
が成り立つようにaiを定めよ。o(x^3)はランダウの記号とする。
aの右側の数字は添え字です

どなたかこの問題を解説して頂けませんでしょうか？

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

A No.2 再掲
＞ a0 = f(0),
＞ a1 = f'(0),
＞ a2 = (1/2)f''(0),
＞ a3 = (1/6)f^(3)(0)
＞ とすればよいので、
＞ f(x) = (1+x)^x = e^( x log(1+x) ) の場合…

最初から書いているように、
関数 f(x) の x=a を中心としたテイラー展開は、
f(x) = Σ[k=0→∞]{(1/k!)f^(k)(a)}(x-a)^k.

特に a=0 の場合は、
f(x) = Σ[k=0→∞]{(1/k!)f^(k)(0)}x^k
です。

３次項までで打ちきって近似とすれば、
f(x) = f(0) + f'(0)x + (1/2)f''(0)x^2 + (1/6)f^(3)x^3 + o(x^3)
となります。
ak = (1/k!)f^(k)(0) にあたるわけです。

その結果、展開の結果は、
やはり A No.2 から書いているように、
＞ (1+x)^x = 1 + 0x + x^2 - (1/2)x^3 + o(x^3).
です。

お礼

なるほど、単純でした
ありがとうございました。

回答No.5

info22_

No.3です。

おっと追加した行にミス。
ANo3の
>a0=f(0)=1,a1=f'(0)=0,a2=f''(0)=1,a3=f'''(0)=-1/2
の中で
a2=f''(0)/2!=1, a3=f'''(0)/3!=-1/2
の2箇所訂正。

単に追加の書き忘れなので、結果に影響はありません。

回答No.4

alice_44

a2 = f''(0)　　と
a3 = f'''(0)　　は、間違い。
テイラー展開の公式は、ちゃんと覚えたほうがよい。

そんなまでして、既出の回答をなぞる必要があるの？

回答No.3

info22_

定義通り,x=0における各微係数を求め、テーラー展開の公式に代入すれば
f(x)=(1+x)^x
a0=f(0)=1,a1=f'(0)=0,a2=f''(0)=1,a3=f'''(0)=-1/2
f(x)=(1+x)^x=1+x^2-(1/2)x^3 + …
lim[x→0] {(1+x)^x-(1+x^2-(1/2)x^3)}/x^3=0　⇒ o(x^3)
なので
ランダウの記号でf(x)を表記すると
(1+x)^x=1+x^2 -(1/2)x^3 +o(x^3)

o(x^3)の定義は参考URLを見てください。

参考URL：

http://tau.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.calculus-II/html.dir/node19.html

回答No.2

alice_44

そういう話なら、その「ランダウのオー」は、スモール・オー
(1+x)^x = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + R(x),
lim[x→1]R(x)/x^3 = 0 の意味でしょうね。
本来の「ランダウのオー」は、ビッグ・オー
f(x) ∈ O(x^3) ⇔ lim f(x)/x^3 が有界(収束するとは限らない)
だけど、そっちを使ってテイラー展開を書くなら、
(1+x)^x = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + o(x^3)
じゃなくて
(1+x)^x = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + O(x^4)
じゃないと。しかも、o(x^3) と O(x^4) では、
左辺が丁度 D3 級のときに、意味に違いが出てしまう。

(1+x)^x は、x ≠ -1 では C∞ 級なので、
x = 1 中心で展開するぶんには、どっちでも同じですが。

左辺が C4 級以上であれば、3 次のテイラーの定理
∃c, f(x) = f(0) + f'(0)x + (1/2)f''(0)x^2 + (1/6)f^(3)(0)x^3 + (1/24)f^(4)(c)x^4.
f^(4)(x) が連続(故に有界)であることから、
(1/24)f^(4)(c)x^4 ∈ o(x^3) が言えます。

a0 = f(0),
a1 = f'(0),
a2 = (1/2)f''(0),
a3 = (1/6)f^(3)(0)
とすればよいので、
f(x) = (1+x)^x = e^( x log(1+x) ) の場合…

a1 = f(0) = (1+0)^0 = 1,
f'(x) = e^( x log(1+x) ){ log(1+x) + x/(1+x) },
a2 = f'(0) = 1・(0 + 0) = 0,
f''(x) = e^(x log(1+x)){log(1+x) + x/(1+x)}^2 + e^(x log(1+x)){1/(1+x) + 1/(1+x)^2},
a2 = (1/2)f''(0) = (1/2){1・(0+0)^2 + 1・(1+1)} = 1,
f^(3)(x) = e^(x log(1+x)){log(1+x) + x/(1+x)}^3 + 3e^(x log(1+x)){log(1+x) + x/(1+x)}{1/(1+x) + 1/(1+x)^2} + e^(x log(1+x)){-1/(1+x)^2 -2/(1+x)^3}
a3 = (1/6)f^(3)(0) = (1/3){1・(0+0)^3 + 3・1・(0+0)(1+1) + 1・(-1-2)} = -1/2.
より、
(1+x)^x = 1 + 0x + x^2 - (1/2)x^3 + o(x^3).

これを通常、「普通にマクローリン展開して！」で済ますのだけれど。

回答No.1

Tacosan

問題の文章のどこが分からないのでしょうか?