テイラー展開

質問

z=(1-x^2-y^2)^(1/2)について、x=y=1/2において、xが0.002増加し、ｙが0.001減少するときzはどれだけ変化するか。ただし、有効数字１ケタで求めよという問題です。
これを２変数についてのテイラー展開を行い、求めるのではないかと考えていますが、どこまでの展開項を用いればよいでしょうか？

解説等もあわせてお答えいただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

Ｘ　＝　ｘ－１／２
Ｙ　＝　ｙ－１／２
と置けば、ＸとＹはゼロに近い値です。

ｚ　＝　｛１　－　（Ｘ＋１／２）^2　－　（Ｙ＋１／２）^2｝^(1/2)
　＝　（１－Ｘ^2－Ｘ－１／４－Ｙ^2－Ｙ－１／４）^(1/2)
　＝　（１／２－Ｘ^2－Ｘ－Ｙ^2－Ｙ）^(1/2)
ここで、
Ｘ^2≪｜Ｘ｜
Ｙ^2≪｜Ｙ｜
なので、かっこの中を一次近似すると（＝テイラー展開の一次の項までの近似をすると）
ｚ　≒　（１／２－Ｘ－Ｙ）^(1/2)
としてよいことになります。

Ｘを０から０．００２増やし、Ｙを０から０．００１減少させると、その差分は、
（１／２－０．００２＋０．００１）^(1/2)　－　（１／２－０－０）^(1/2)

ここまで来れば、なんとかなりますか？

お礼

先ほどに引き続き、解答ありがとうございます。

＞Ｘ　＝　ｘ－１／２
　Ｙ　＝　ｙ－１／２
　と置けば、ＸとＹはゼロに近い値です。
＞かっこの中を一次近似すると（＝テイラー展開の一次の項までの近似をすると）
ｚ　≒　（１／２－Ｘ－Ｙ）^(1/2)
の２つの部分がよく分かりません。

特に、（１／２－Ｘ^2－Ｘ－Ｙ^2－Ｙ）^(1/2)を近似すると
ｚ　≒　（１／２－Ｘ－Ｙ）^(1/2)
となるのはなぜなんでしょうか？

ご指導願えると幸いです。

補足

＞＞かっこの中を一次近似すると（＝テイラー展開の一次の項までの近似をすると）
ｚ　≒　（１／２－Ｘ－Ｙ）^(1/2)

特に、（１／２－Ｘ^2－Ｘ－Ｙ^2－Ｙ）^(1/2)を近似すると
ｚ　≒　（１／２－Ｘ－Ｙ）^(1/2)
となるのはなぜなんでしょうか？

申し訳ありません。
こちらは理解できました。

＞Ｘを０から０．００２増やし、Ｙを０から０．００１減少させると、その差分は、
（１／２－０．００２＋０．００１）^(1/2)　－　（１／２－０－０）^(1/2)

こちらは、テイラー展開で１次の項まで展開した（１／２－０．００２＋０．００１）^(1/2)　＝　（１／２－０－０）^(1/2)を式変形しただけですよね？

回答No.6

sanori

コメントにお答えします。

----------
＞Ｘ　＝　ｘ－１／２
　Ｙ　＝　ｙ－１／２
　と置けば、ＸとＹはゼロに近い値です
最初の解答の上記の意味がよくわからないのですが、どういう理由で考えつかれたのでしょうか？
----------

｜ｔ｜≪１　つまり、ｔがゼロに近いとき
（１＋ｔ）^n　≒　１＋ｎｔ
（１＋ｔ＋ｓ）^n　≒　１＋ｎｔ＋ｎｓ
となります。

ここで　ｔ＝Ｔ＋１／２、　ｓ＝Ｓ＋１／２　を代入すると、
（１＋Ｔ＋１／２＋Ｓ＋１／２）^n　＝　（２　＋　Ｔ　＋　Ｓ）^n
となって、Ｔ＝１／２　および　Ｓ＝１／２　の周りのテイラー展開をしなくちゃいけなくなります。
ゼロの周りだから、式が簡単になります。

お礼

ご解答ありがとうございました。
理由がよく分かりました。
何度も解答いただきありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

とりあえず #1 の方を先に勝手に補足すると, 問題に
「x=y=1/2 において x が 0.002 増加し y が 0.001 減少する」
とあるんだから, 変化させたあとの x, y に関しては x-1/2, y-1/2 は当然 0 に近い (具体的にはそれぞれ 0.002 と -0.001 だが) ですよね.
あと, #4 についてはまじめにやるなら 2階偏微分は全部見せる必要があるかと. その上で「3次以上はもっと小さくなるので, 結局 1次の項だけ見れば十分」と書いておくかな.

お礼

＞「x=y=1/2 において x が 0.002 増加し y が 0.001 減少する」
とあるんだから, 変化させたあとの x, y に関しては x-1/2, y-1/2 は当然 0 に近い (具体的にはそれぞれ 0.002 と -0.001 だが) ですよね

なるほど、噛み砕いていただいたおかげで理解できました！
また、テストに際する記述のアドバイスもありがとうございました！
おかげで、疑問が払拭されました。
本当にありがとうございました。

回答No.4

Tacosan

今の場合 x, y の変化量が 0.002 と -0.001 なので, 1次の項は 10^-3, 2次の項は 10^-6 のオーダーになります. 一方 2階偏微分はそれほど大きな値にはならないので, 1階までで大丈夫だなって感じですね.
1変数のときの話を拡張しているだけですが.

お礼

ずばり、納得です。
自分も、そのような理由のためかな？と漠然と思っていました。
これ以降も直感的に判断して、必要な項まで展開していけるようにしたいと思います。
テストでもこのように書けば問題ないですかね？
どうもありがとうございました。

回答No.3

sanori

コメントにお答えします。

-----
＞Ｘを０から０．００２増やし、Ｙを０から０．００１減少させると、その差分は、
（１／２－０．００２＋０．００１）^(1/2)　－　（１／２－０－０）^(1/2)
こちらは、テイラー展開で１次の項まで展開した（１／２－０．００２＋０．００１）^(1/2)　＝　（１／２－０－０）^(1/2)を式変形しただけですよね？
------

差分　≒　（１／２－０．００２＋０．００１）^(1/2)　－　（１／２－０－０）^(1/2)
　＝　（１／２－０．００１）^(1/2)　－　（１／２）^(1/2)
　＝　（１／２）^(1/2)（１－０．００２）^(1/2)　－　（１／２）^(1/2)
　＝　（１／２）^(1/2)｛（１－０．００２）^(1/2)　－　１｝

ここでまた、（１－０．００２）^(1/2)　を一次近似します。
０．００２＝ｘ　と置き換えてテイラー展開します。
ｆ（ｘ）　＝　（１－ｘ）^(1/2)
ｆ’（ｘ）　＝　－１／２・（１－ｘ）^(-1/2)
ｆ’’（ｘ）　＝　１／４・（１－ｘ）^(-3/2)

第１項は、
ｆ（０）／０！・ｘ^0　＝　１／１・１　＝　１
第２項は、
ｆ’（０）／１！・ｘ^1　＝　－１／２・（１－０）^(-1/2)／１！・ｘ　＝　－１／２・ｘ
第３項は、
ｆ’’（０）／２！・ｘ^2　＝　１／４・（１－０）^(-3/2)／２！・ｘ^2　＝　１／１６・ｘ^2

よって、
差分　≒　（１／２）^(1/2)｛（１ － １／２×０．００２ ＋ １／１６・０．００２^2）　－　１｝
ここまで来て、第３項が不要ということがわかると思います。
つまり、
差分　≒　（１／２）^(1/2)｛（１ － １／２×０．００２）　－　１｝
　＝　（１／２）^(1/2)（－０．００１）
　＝　－√２／２×０．００１
　≒　－１．４／２×０．００１
　＝　－０．０００７

これを機会に一次近似、すなわち、
｜ｘ｜≪１　　のとき　　（１＋ｘ）^n　≒　１＋ｎｘ
っていうのを覚えておくと、何かと便利ですよ。

お礼

＞Ｘ　＝　ｘ－１／２
　Ｙ　＝　ｙ－１／２
　と置けば、ＸとＹはゼロに近い値です
最初の解答の上記の意味がよくわからないのですが、どういう理由で考えつかれたのでしょうか？

＞ちなみに第３項は、
ｆ’’（０）／２！・ｘ^2　＝　１／４・（１－０）^(-3/2)／２！・ｘ^2　＝　１／１６・ｘ^2

の部分なのですが、-1/8・x^2ではないかと思うのですが・・・
結局この値でも、差分を計算した時に第３項以降は0.002の指数関数の指数部分が大きくなっていき、ごく小さな変化しかもたらさないため、必要ないんですね。
理解できました。
どうも、ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

#1 で言われているように 1次まででいいと思います.
単純にテイラー展開するだけ, ですよね?
f(x, y) = (1-x^2-y^2)^(1/2) に対して fx, fy を x, y による偏微分とすれば
f(1/2+dx, 1/2+dy) = f(1/2, 1/2) + fx(1/2, 1/2)dx + fy(1/2, 1/2)dy + ....
でいいんじゃないのか?

お礼

ご解答ありがとうございます。
展開項が１次まででよいというのは実際に計算してみた結果から分かるのでしょうか？
確かに２次、３次・・・と計算していっても小数第一位にはまったく影響はありません。
それとも#1さんが答えていただいたことから、明らかなのでしょうか？
自分はまだ#1さんの解答が理解しきれていないので、分かりません。
ちなみに、答えは0.7になると思うのですが、どうでしょうか？
また、ご解答いただけると幸いです。

補足

申し訳ないです。
答えは-7.0×10^(-4)のミスです。