テーラー展開

質問

x=0におけるテーラー展開を求める。

【問い】f(x)=(1-x)/(1+x)
【解答】f(0)=1,f'(0)=-2,f''(0)=4,f'''(0)=－12,f''''(0)=48なので
【答え】f(x)=1-2x+2x^2-2x^3+2x^4

とあるのですが，解答から解説にいく段階は何となくわかるのですが
その前の解答の部分がわかりません。
教科書を見ているのですが，数字が並んでないせいかよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.6

ryn

> =(1-x)^2/(1+x)(1-x)
> =(1-2x+x^2)/(1-x^2)
> =(x^2-2x)/(-x^2)
最後の1行が
　(1+5)/(1+2) = 5/2
のようなことになってしまってます．

今は，微分計算をなるべく楽にするために
x という文字の入っている場所を減らすという方針で
　(1-x)/(1+x)
= {-(1+x)+2}/(1+x)
= -1 + 2*(1+x)^(-1)
のように変形します．

このように変形してから微分をすればかなり楽ですが，
計算練習にもなりますので，(1-x)/(1+x) のまま
商の微分を使うのと同じになるか確認してみてください．

お礼

せっかくｘを減らすと楽に計算ができると教えてくださったのに
変形で益々わからなくなってしまいました。
すみません。
2階の途中計算を教えて頂けないでしょうか？

補足

ryn様
解けました！
日が変わった今日と，２度も解説してくださって，お手数かけました。ありがとうございました。

皆様
皆さんのヒントやアドバイスのおかげで，今やっと解けました！
全員の方にポイントをどうしても入れたくても選べないので，そのまま締め切らせてもらいます。
ありがとうございました！

（rynさん，書き込むところがなく，ここへお礼の欄に使用してしまってすみませんでした。）

回答No.5

ryn

本質ではないですが，今の問題だと
　f(x) = (1-x)/(1+x)
のまま微分するより，少し変形してから微分したほうが楽になります．

お礼

ありがとうございました。
変形も考えたのですが，どうもやり方がおかしいのか，かなりおかしな変形になりました。
=(1-x)^2/(1+x)(1-x)
=(1-2x+x^2)/(1-x^2)
=(x^2-2x)/(-x^2)
というふうになってしまいます。。。

回答No.4

torahuzuku

今晩は。
【問い】の部分の１,2,3,4次導関数のxに0を代入したものが【解答】の2項目以降の部分ですし、1項目は【問い】の式に0を代入したものです。あとは、テイラー展開の公式に代入すれば良いかと。
まずは、皆さんが言われているように1,2,3,4次の導関数を求める必要がありますね。

お礼

細かくご説明して頂いて，ありがとうございました。
おかげでご説明してくださった趣旨がよくわかり解けそうな気がしてきました。
とても助かります！
おっしゃるようにまずは導関数をもう少し粘って解いてみます。

回答No.3

uyama33

f(x)=(1-x)/(1+x)
を微分して
f'(x)
さらに
f"(x)
を求める事は出来ますか？

お礼

ありがとうございます。
お察しの通り，微分でつまずいてしまっています。
商の微分を使い，2導関数はちゃんと－2が出る（偶然？）のですが，3階から微分が間違っているようです。
もう少し頑張ってみます。

回答No.2

gengen4

テイラー展開の公式というのは、
f(x+a)=f(a)+xf'(a)+x^2*f''(a)/2!+x^3*f'''(a)/3!…

という式です。

「x=…の周りでテイラー展開しなさい」という問題が一

般的です。…の部分が公式でいうaの値を表しています。

質問者さんの問題の場合はa=0ですので、そのまま公式

に代入すると、f(0),f'(0),f''(0),f'''(0)…を計算する

必要がでてきます。

お礼

本を見るよりずっと流れがわかりました。
そして問題がどういうことを聞いているのか，そしてどう解いていくのかを教えてくださり，本当にありがとうございます。
今既に微分のところでつまずいてまして，もうちょっと頑張って解いてみようと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

Taylor 展開がわかっていれば問題にならないと思うんだけど....