ベクトルのテーラー展開について

質問

お世話になっております。
ベクトルのテーラー展開についてよくわからないことが出てまいりましたので質問させていただきます。

v(x+δs) - v(x)を求めるため
v(x+δs)なるベクトルを今テーラー展開したいです。
なお、v, x, δs,いずれもxyz座標系でのベクトルで、各成分をv1のように以後表します。添え字のない時はベクトルです。
なおδsは微小量です。

今、
v1(x1+δs1)を、x1まわりでテーラー展開すると

v1(x1+δs1) =　v1(x1) + [v1(x1)]'・(x1+δs1 - x1) + Ｏ(δ^2)
故に二次の微小量を無視し
v1(x1+δs1) = v1(x1) + δs1[v1(x1)]'

(なお、[v1(x1)]'とは、v1を微分した値にx1を代入したものです。)

よって、v1(x1+δs1) - v1(x1) = δs1[v1(x1)]'
となると思われます。
これを各成分ごとに三式書いて一つにまとめればベクトルの式になると考えております。

が、肝腎の[v1(x1)]'がよくわからなく、また、教科書を見ると

v(x+δs) - v(x) = (δs・∇)vとなっていて、
僕の出したものとオーダーはあっているものの、少々形が違うように見受けられます。

どこで僕は間違えてしまっているのでしょうか？
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

endlessriver

v1(x1+δs1,x2+δs2,x3+δs3) -　v1(x1,x2,x3) を計算しないといけません
すなわち
v1(x1+δs1,x2+δs2,x3+δs3) -　v1(x1,x2+δs2,x3+δs3)
+v1(x1,x2+δs2,x3+δs3) - v1(x1,x2,x3+δs3)
+v1(x1,x2,x3+δs3) - v1(x1,x2,x3) を計算しないといけません

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞v1(x1+δs1,x2+δs2,x3+δs3) -　v1(x1,x2,x3) を計算しないといけません

ということは理解できました。
v1がx1のみの関数だと勘違いしていたのがいけなかったというわけですね？
ということで、三変数のテーラー展開だと思ってx1.x2.x3まわりで思ってやってみると
　v1(x1+δs1,x2+δs2,x3+δs3)
= v1(x1,x2,x3) + (δs1()x +δs2()y + δs3()z )v1(x1.x2.x3) +Ｏ(δ^2)　　ただし()xは
となって確かに
よ式=(δs・∇)v
となりました。

ただ、
＞すなわち
以降に疑問が生じてしまいました。
おっしゃられた式を正しく計算したつもりなのですが
第一行は
δs1・[ v1(x1,x2+δs2,x3+δs3) ]x1 ←わかりにくいですがδs1v1'
ただしここでの'はx1の偏微分
第二行は
δs2・[ v1(x1,x2,x3+δs3) ]x2
第三行は
δs3・[ v1(x1,x2,x3) ]x3となり
第一行、二行はδs2や3の分だけずれてしまうように思うのですが・・・？

v1(x1+δs1,x2+δs2,x3+δs3) -　v1(x1,x2,x3)
=v1(x1+δs1,x2,x3) - v1(x1,x2,x3)
+v1(x1,x2+δs2,x3) - v1(x1,x2,x3)
+v1(x1,x2,x3+δs3) - v1(x1,x2,x3)
のように思ってしまうのですが、これは間違いなのでしょうか？

どうぞよろしくお願いいたします。