行列式の計算

質問

| x a1 a2 ・・・an |
| a1 x a2 ・・・an |
| a1 a2 x ・・・an |
|・・・　 　 　　　　 |
|・・・　　　 　　　 |
| a1 a2 a3 ・・・x |

上の行列式をどうやって計算するのか教えて下さい。
答えだけは分かっていて、
( x + Σai )・Π( x - ai ) となるそうです。

ちなみに、aの後にある文字、数字は全て添え字。
Σはiを1からnまで足し合わせ
Πはiを1からnまで掛け算する記号です。

よろしくお願いします。

回答No.1

scale--free · ベストアンサー

求めたい行列式をxの関数だと思って、f(x)とおきましょう。つまり、
f(x) =
| x a1 a2 ・・・an |
| a1 x a2 ・・・an |
| a1 a2 x ・・・an |
|・・・　 　 　　　　 |
|・・・　　　 　　　 |
| a1 a2 a3 ・・・x |
です。

まず、行列式の定義から、f(x)は(n+1)次のxの多項式です。
f(x)=0は(n+1)個の解（一般には複素数）を持ちます。
f(x)を知るには、

f(x)=0の解とf(x)のx^{n+1}の係数が分かればよい

ですね。

f(x)=0となるxはどうしたら分かるでしょうか。
f(a_1)=0です。なぜなら、x=a_1としたとき行列の１行目と２行目が一致するからです。
以下同様にして、f(a_i)=0を確かめてください。
また、f(-a_1…a_n)=0も確かめてください。

f(x)=0の解がわかったので、

f(x) = C (x-a_1) … (x-a_n)(x+a_1…a_n)
C : 定数

と因数分解されることが分かります。

あとは、f(x)のx^{n+1}の係数 C ですが、これは行列式の定義から考えてみるとすぐに分かりますよ。

補足

a_1…a_nというのは、Σa_iのことですよね。（最初掛け算かと思ってしまいました）
f(-Σa_i)=0になるというのは、xにこれを代入したものは、もとの行列の１～ｎ列目を足し算して-1倍するとn+1列目に一致するから、もとの行列の階級はｎ以下だということで良いのでしょうか。もっと簡単に分かるのでしょうか。
（まあ、対称式ですから１次式なのは±Σa_iだけでしょうね。）

ありがとうございました。

回答No.3

guuman

失礼
マイナスを書き漏らしていました

ｘにａ１，・・・，ａｎを入れてみる
そしてｘに－Σakを代入した行列式において
第１列に第２列以降をすべて足してみる
そうすると猿でも解ります

回答No.2

guuman

ｘにａ１，・・・，ａｎを入れてみる
そしてｘにΣakを代入した行列式において
第１列に第２列以降をすべて足してみる
そうすると猿でも解ります

お礼

あ、これは…私の下の疑問に対する答えになってますね。ありがとうございました。