テイラー展開の問題

質問

x/sinx(1+x^2)^(-1/2) という関数をｘ＝０で漸近展開を4次まで計算し、ランダウ記号を使って表せ。ただし、直接に高階微分せずに、ランダウ記号を用いた効率の良い計算をすること。
この問題のやり方が全然わかりません。教えて頂けませんか？

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

f(x)={x/sin(x)}*(1+x^2)^(-1/2) であるものとします。
要求に応じて 0<|x|<r で展開するにはまず、
(1+x^2)^(-1/2) = 1 - (1/2)x^2 + (1/2!)(-1/2)(-3/2)x^4 + ...., (拡張された二項展開)
でありまた、x/sin(x) については、
x/sin(x)=1/{1 - x^2/3! + x^4/5! - ... } = 1 + c[2]x^2 + c[4] x^4 とおいて計算し、c[2]=1/6, c[4]=7/360 を得ます。
最後にこれらをかけ、x^4 までにまとめてください。