テーラー展開について

質問

以下の画像の問題なのですが、どのようにして求めればいいのでしょうか？

テーラー展開って普通「x=aのまわり」でとかあると思うのですが、

この問題にはそういうのが無いので、そこも考えてあげないとならないと思います。
これはどのように決定するのでしょうか？
またそれを決定して展開した後、どのようにして求めればよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

x=32の周りのテイラー展開をすればいいかと思います。
f(32),f'(x),f'(32),f''(x),f''(32), ...,を計算して
テイラー展開を求めて下さい。

正しく計算できれば次式のように展開できると思います。
f(x)=2+(x-32)/80-(x-32)^2/6400+(3/1024000)*(x-32)^3
-(21/327680000)*(x-32)^4+(399/262144000000)*(x-32)^5+...

f(30)の計算で、
前から順に項を加えていって、項和の差が0.0001未満となる
ところで計算を打ち切ればそれが
30^(1/5)の近似値の求める答になりますね。

検討）
求めた結果を
30^(1/5)≒1.974350...　と比較して見て下さい。

回答No.2

rnakamra

>テーラー展開って普通「x=aのまわり」でとかあると思うのですが、

>この問題にはそういうのが無いので、そこも考えてあげないとならないと思います。
>これはどのように決定するのでしょうか？
>またそれを決定して展開した後、どのようにして求めればよいのでしょうか？

それがこの問題の本質でしょう。
f(a+h)=f(a)+f'(a)h+f''(a)h^2/2+・・・
となりますが、f(a),f'(a),f''(a),・・・が計算できないことにはお話になりません。
f(x)=x^(1/5),f'(x)=(1/5)x^(-4/5),f''(x)=(-4/25)x^(-9/5)
ですが、これが求めやすい数で無いと面倒です。(1)
さらにhを小さくするほうが収束の速さの面で有利です。(2)

(1)の条件から、5乗根が簡単に求められる数がよい。
さらに(2)の条件から、30に一番近い5乗根が簡単に求められる数、ということになります。
計算のしやすさからaは5乗して30に一番近い数字を選ぶのがよい。
1^5=1,2^5=32,3^5=729
どれが最適かすぐにわかるでしょう。