テーラー展開とマクローリン展開

質問

独学なのでいまいちはっきりわからなく。。。
f(x)のテーラー展開
Σ(n=0~∞) (☆/n!)(x-a)^n
(☆はf(x)をn回微分したものにaを代入した値）
１）マクローリン展開はテーラー展開の一種である。（テーラー展開のaに０を代入したものをマクローリン展開という）
２）aに代入する値は別に何の数字であっても展開はできる
3)テーラー展開は基本的に無限回微分可能な関数をf(x)=多項式の形に直すのに使われる
という理解でいいのですか？　間違ってたら訂正お願いします。
またこれはいつ使うのでしょうか。。？

回答No.1

Willyt · ベストアンサー

正しいですよ(^_^)

　超越関数等を含む複雑な関数を多項式で近似すると取り扱いが大変楽になります。特に独立変数が小さな値だけの範囲なら多項式の数個を残して後の項を無視しても差し支えなくなりますから、解析が大変楽になります。

お礼

なるほど。　ネイピア数の無理数の証明で見つけたのですが、そういう使い方もあるんですね。　ちなみにこの展開の求め方（証明）は簡単に理解できるようなものなのでしょうか？

回答No.2

alice_44

1)
a が何を指すのか書かないと、文章として意味をなさないが、
言いたいことは汲めるし、その内容は正しい。

2) 3)
展開できるか否かは、各 f と a について検討する必要がある。
f(x) が x=a で任意回微分できたからといって、テーラー展開が
0 でない収束半径を持つとは限らない。

お礼

aについては一応質問の最初に式を書いて示してあります。