ランダウの記号

質問

ランダウの記号について初歩的な質問をさせていただきます。まず、

　lim[x→a] f(x)/g(x) = 0 のとき、 f(x)=o(g(x)) (x→a) とかき、o( ) をランダウの記号という。
　また、ランダウを記号を含む等式は、右辺で左辺を評価することを表す。

私はこのように理解しているということを記しておきます。

(1) cos(x) = 1+o(x) (x→0) は、 1+o(x) で cos(x) を評価するということを表しているのだと思いますが、" 1+o(x) で cos(x) を評価する"ということの意味が分かりません。

(2) o(x^2) = o(x) も(1)と同様に、 "o(x)でo(x^2)を評価する"ということの意味が分かりません。

(3)ランダウの記号に対して四則演算が成立する意味が分かりません。例えば、lim[x→0] x^m*o(x^n)/x^(m+n) = 0 といった具合です。ランダウの記号は「評価すること」を表すのであって、「何らかの数(0,1といったもの)」を表すのではないのでは？

以上3点、宜しくお願いいたします。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

それは慣習的な記号の乱用です．もう少し正確には
o(g(x)) = { f(x) | lim f(x)/g(x) = 0 (x → a) }
とおいて
f(x) ∈ o(g(x)) のことを f(x) = o(g(x)) と表します．

(1)
f(x) = g(x) + o(h(x)) (x → a)
とは f(x) - g(x) ∈ o(h(x)) のこと，つまり
lim [f(x) - g(x)]/h(x) = 0 (x → a)
を指します．

(2)
o(x^2) = o(x) は 上のように定義しておけば集合としての包含関係 o(x^2) ⊆ o(x) のことを指していると思われます．

(3)
四則演算は演算★に対して
o(f(x)) ★ o(g(x)) = { a(x) ★ b(x) | a(x) = o(f(x)), b(x) = o(g(x)) },
f(x) ★ o(g(x)) = { f(x) ★ a(x) | a(x) = o(g(x)) }
などと定義すれば，曖昧さはありません．尤も上の例のように実際には包含関係のことを指していたりしますが．

## とは云うものの，多くの人はあまり気にかけずに雑に使うので，何かを読むときには寛大な心で行間を読む(?)必要があると思います．

お礼

なるほど、つまり、ランダウ記号は「集合」を表していた、ということですね。大変分かりやすかったです。ありがとうございました！