絶対値つきの積分の計算です。

質問

∫[|x|<1]　log(1/|x|) dx

は計算するとどうなるのでしょうか？
色々調べてみましたが分からないので、解法を教えていただきたいです。
どなたかよろしくお願いいたします＞＜

回答No.4

ereserve67 · ベストアンサー

他回答者の補足をみさせていただきました．

まず連続的変数に関する関数の一様収束の確認です．

『f(z,α)をzのある区域Kにおける各zに関してα→aのときにある極限値f(z)に収束する：

（☆）∀ε>0,∃δ(0<|α-a|<δ)；|f(z,α)-f(z)|<ε

このδがεだけに依存し，zに依存しないときにこの収束はKにおけるzに関して一様であるという．』

さて，実数z，正の数αに対して，

f(z,α)=∫[|z－y|<α] log(α/|z-y|)dy

とおきましょう．（εの代わりにαを使っています）．これは質問者様の書き換えにより

f(z,α)=α∫[|x|<1] log(1/|x|)dx

となりました．この比例係数は，被積分関数が特異点x=0をもつ広義積分ですが，それは収束して2でした．すなわち

f(z,α)=2α

ということです．これはα→0(=a)のとき明らかに0(=f(z))に収束します．つまり，☆はこの場合

∀ε>0,∃δ(0<α<δ)；2α<ε

となるわけです．これは任意のε>0に対して例えばδ=ε/3とすれば2α<2δ=2ε/3<εというように，δは全くzに依存せずにとれますから，収束は実数全体に対して一様になるわけです．これが

「zの値に関わらず（つまりzに関して一様に）（＊）がα→0のとき0に収束する」

の意味ではありませんか．（εをαと書いています）

回答No.3

Tacosan

とりあえず #2 への補足の方から:
「この解がzの値に関わらず（つまりzに関して一様に）解に収束する」ってどういうことでしょうか? そもそも「解」ってなんですか? そして, 変数を変換して z が消えてるんだから, 「zの値に関わらず」は当然ではありませんか?

ちなみに質問に挙がっている積分に対し「偶関数だから～」などと能天気にやるのは, 本当はよくない. 律儀に
∫(x: -1→-δ) + ∫(x: δ'→1)
と区間を分割し δ と δ' に対する +0 への極限を同時にとるのが確実.

補足

すみません、補足内容が不十分でした。

本題は
∫[|z－y|<ε] log(ε/|z-y|) dy　（ε＞0)
であり、これをy=z+εxと変換して
ε∫[|x|<1] log(1/|x|) dx-----（＊）
となったのですが、
zの値に関わらず（つまりzに関して一様に）（＊）がε→0のとき0に収束するというのは
どういう事実から言えるのでしょうか？
もしよろしければ解説いただければと思います。

回答No.2

info22_

被積分関数が偶関数であり、積分範囲が対称区間であることから、
I=∫[|x|<1] log(1/|x|) dx
=2∫[0<x<1] log(1/|x|) dx
=2∫[0<x<1] log(1/x) dx
=-2∫[0,1] log(x) dx
=-2{∫[0,1] 1*log(x) dx}
部分積分して
=-2{[xlog(x)][0,1]-∫[0,1] x*(1/x) dx}
=-2{1*log(1)-(lim[x→0] xlog(x))-∫[0,1] 1 dx}
=-2{0-(lim[x→0] xlog(x)) -1}
=2+2 lim[x→0] log(x)/(1/x)
ロピタルの定理を用いて
=2+2 lim[x→0] (1/x)/(-1/x^2)
=2+2 lim[x→0] (-x)
=2+0
=2

補足

ご丁寧な回答ありがとうございます。
ちなみになのですが、本題は
∫[|z－y|<ε] log(ε/|z-y|) dy　（ε＞0)
であり、これをy=z+εxと変換して
ε∫[|x|<1] log(1/|x|) dxとなったのですが、
この解がzの値に関わらず（つまりzに関して一様に）解に収束するというのは
どういう事実から言えるのでしょうか？
もしよろしければ解説いただければと思います。

回答No.1

noname#171951

log(1/|-x|)=log(1/|x|)なので
∫[|x|<1]　log(1/|x|) dx=2∫[x=0→1]log(1/x)dx=-2∫[x=0→1]logxdx
と変形できます。
あとは部分積分を使って計算できます。