●○不定積分の計算方法。

質問

「∫(x+1)/(x^2+x+1)dx」 の計算方法が分かりません。

(1)　x+1=tとおいて置換積分を試みたのですがうまくいかず。
(2)　分子を 2x+1-x としてlogに落としこもうとしてもうまくいかず。

解法をお解かりの方がいらっしゃりましたら、宜しくお願い致します。

回答No.1

nious · ベストアンサー

{x+(1/2)}/(x^2+x+1) + (1/2)/{(x+(1/2))^2+(3/4)} と変形して、
前者は x^2+x+1=t、後者は x+(1/2)=(√3/2)*tan(θ)とそれぞれ置換してみましょう。

お礼

なるほど、そういう風に分解すると上手くいくのですね。
とても参考になりました。
大変ありがとうございました！

回答No.2

arrysthmia

上手い置換積分などの技法に凝らず、素直に部分分数分解する
という手もあります。
(x+1)/(x^2+x+1) = A/(x-ω) + B/(x-ω^2)
　ただし
　A = 1/(2+ω)
　B = 1/(2+ω^2)
　ω = { -1+√(-3) }/2
より、
∫(x+1)/(x^2+x+1)dx = A log(x-ω) + B log(x-ω^2) + C
　ただし
　C は積分定数。
右辺が虚数の係数を含まないようにするためには、
e^(ix) = (cos x) + i (sin x) などを使って、
対数を逆三角関数に翻訳する必要がありますが。

お礼

ご回答ありがとうございます！
素直にやってもできるものなんですね。
早速やってみたいと思います。
ありがとうございました！