定積分の計算

質問

(1)∫√(1-cosx)dx [0から2π]

(2)∫√(1+x^2)dx [0から2π]

(3)∫{x/(3-x)}dx [0から2]

です。
詳しい途中計算を知りたいです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1さんのアドバイスやってみましたか？

やったこと、行き詰っている所を補足に書くようにして下さい。

(1)
∫[0, 2π] √(1-cos(x))dx
=∫[-π, π] √(1-cos(x))dx
=∫[0, π] √(1-cos(x))dx
=∫[0, π] √(2sin^2(x/2))dx
=∫[0, π] (√2)sin(x/2))dx
後は自力でできますね。

(2)
∫[0, 2π] √(1+x^2)dx
=∫[0, 2π] (1+x^2)/√(1+x^2)dx
= (1/2)∫[0, 2π] (1+1+x^2+x^2)/√(1+x^2)dx
= (1/2)∫[0, 2π] { 1/√(1+x^2) + √(1+x^2) + (x^2)/√(1+x^2) } dx
=(1/2)∫[0, 2π] { 1/√(1+x^2) + (x√(1+x^2)) ' } dx
= (1/2)[sinh^-1(x)+x√(x^2+1)] [0, 2π]
後は自力でできますね。

(3)
∫[0, 2] { x/(3-x) } dx
=∫[0, 2] { -1-3/(x-3) } dx
= [-x-3log |x-3| ] [x:0,2]
後は自力でできますね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

上から順に半角の公式, 置換積分, 素直に割る.

お礼

ご回答ありがとうございます。